Гуманитарные технологии Аналитический портал • ISSN 2310-1792

Имре Лакатос. Доказательства и опровержения. Глава 5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости

а) Устранение монстров в защиту теоремы

Гамма. Я только что понял, что мой контрапример 5 с цилиндром опровергает не только наивную догадку, но также и теорему. Хотя он удовлетворяет обеим леммам, он все же неэйлеров.

Альфа. Дорогой Гамма, не будьте чудаком. Пример с цилиндром был шуткой, а не контрапримером. Ни один серьёзный математик не будет считать цилиндр многогранником.

Гамма. Почему же тогда вы не протестовали против контрапримера 3 — моего «морского ежа?» Разве он менее «чуден», чем мой цилиндр? Конечно, тогда вы критиковали наивную догадку и приветствовали опровержения. Теперь защищаете теорему и ненавидите опровержения! Тогда при появлении контрапримера вы ставили вопрос, в чем недостаток предположения. Теперь спрашиваете, в чем недостаток контрапримера.

Дельта. Альфа, вы обратились в устранителя монстров? Это вас не смущает? 65

б) Скрытые леммы

Альфа. Согласен.

Я, может быть, несколько поторопился. Дайте подумать: имеются три возможных типа контрапримеров. Мы уже обсудили — первый — локальный, но не глобальный — он, конечно, не опровергает теоремы 66.

Вторым типом заниматься не надо; он одновременно и глобальный, и локальный. Он вовсе не опровергает теорему, а подтверждает её 67.

Теперь мы имеем третий тип — глобальный, но не локальный. Он, конечно, опровергает теорему. Я не считал это возможным. Но Гамма думает, что его цилиндр как раз таким и будет. Если мы не хотим отбросить его как монстр, то должны допустить, что он является глобальным контрапримером: V — Е + F = 1. Но, может быть, он принадлежит ко второму безобидному типу? Бьюсь об заклад, что он не удовлетворит по крайней мере одной из наших лемм.

Гамма. Проверим. Он, конечно, удовлетворяет первой лемме; если я выну грань-основание, то легко могу растянуть остальное на доске.

Альфа. Но если вы удалите боковую оболочку, то он распадется на два куска!

Гамма. Ну и что же? Первая лемма требует, чтобы многогранник был «простым», то есть «чтобы по удалении одной грани его можно было растянуть па доске». Цилиндр удовлетворяет этому требованию, даже если вы начнёте с отнимания оболочки. Вы требуете, чтобы цилиндр удовлетворял добавочной лемме, а именно, чтобы получающаяся плоская сетка была тоже связной. Но кто выдвигал когда-нибудь такую лемму?

Альфа. Всякий слово «растянут» понимал как «растянутый одним куском», «растянутый без разрывов». Мы решили не включать третью лемму, так как Эпсилон доказал, что она вытекает из двух первых 68. Но посмотрите на доказательство: оно основано на допущении, что после растягивания получается связная сеть. Иначе для триангулированной сети V — Е + F не будет 1.

Гамма. Почему же вы тогда не настаивали на том, чтобы выразить её явно?

Альфа. Потому что мы считали, что это подразумевается само собой.

Гамма. Вы-то как раз наверняка так и не считали. Ведь вы предположили, что «простой» понимается как «могущий быть сжатым в шарик» 69. Цилиндр может быть сжат в шарик, следовательно, по вашей интерпретации, он удовлетворяет первой лемме.

Альфа. Хорошо…

Но вы должны сознаться, что он не удовлетворяет второй лемме, что любая грань, рассеченная диагональю, распадается на два куска. Как вы будете триангулировать круг или оболочку? Односвязны ли эти грани?

Гамма. Конечно.

Альфа. Но на цилиндре диагоналей вообще не проведешь! Диагональ представляет собой ребро, связывающее две прилежащих вершины. А у цилиндра нет вершин!

Гамма. Не волнуйтесь. Если вы хотите показать, что круг не односвязен, то проведите диагональ, которая не образует новой грани.

Альфа. Не смейтесь; вы очень хорошо знаете, что я не могу.

Гамма. Тогда допускаете ли вы, что утверждение «в круге имеется диагональ, не образующая новой грани» ложно?

Альфа. Да, допускаю. Ну и что же?

Гамма. Тогда вы обязаны допустить, что отрицание этого суждения будет истинным, а именно, что «все диагонали круга производят новую грань», или, что «круг односвязен».

Альфа. Для вашей леммы: «все диагонали круга производят новую грань» вы не можете привести примера, поэтому ваша лемма не истинна, а лишена смысла. Ваше понимание истины ложно.

Каппа (в сторону). Сначала они ссорились из-за понятия многогранника, а теперь из-за понятия истины 70.

Гамма. Но вы уже допустили, что отрицание этой леммы было ложным! Может ли предложение А не иметь смысла, а не-А иметь смысл и быть ложным? В вашем понимании «смысла» что-то не в порядке.

Заметьте, я вижу ваше затруднение, но мы можем преодолеть его, изменив слегка формулировку. Назовём грань односвязной в случае, когда «для всех x, если x есть диагональ, то x разрежет грань на две части». Ни круг, ни оболочка не могут иметь диагоналей, так что в их случае при всяком x первая посылка будет всегда ложной. Поэтому условное предложение может быть проверено примером для любого предмета и будет и имеющим смысл, и истинным. Но и круг, и оболочка односвязны — значит цилиндр удовлетворяет второй лемме.

Альфа. Нет! Если вы не можете проводить диагонали и тем самым триангулировать грани, то никогда не получите плоской треугольной сетки и никогда не сможете завершить доказательство. Как же можете тогда требовать, чтобы цилиндр удовлетворял второй лемме? Разве вы не видите, что в лемме должно быть условие существования?

Правильная интерпретация односвязности грани должна быть такой: «Для всех x, если x есть диагональ, то x сечет грань надвое; и имеется по крайней мере один x, который будет диагональю». Наша первоначальная формулировка, возможно, не выразила этого словами, но в ней было сделанное бессознательно «скрытое допущение» 71. Все грани цилиндра не удовлетворяют ему; следовательно, цилиндр будет противоречащим примером, являющимся одновременно и глобальным, и локальным и он не опровергает теоремы.

Гамма. Вы сначала модифицировали лемму о растягивании введением «связности», а теперь и триангуляционную лемму введением вашего условия существования! И все эти тёмные разговоры о «скрытых допущениях». только скрывают тот факт, что мой цилиндр заставил вас изобрести эти модификации.

Альфа. Зачем тёмные разговоры? Мы уже согласились опускать, то есть «скрывать», тривиально ясные леммы 72.

Зачем же нам тогда устанавливать и включать тривиально ложные леммы — они также тривиальны и также скучны! Держите их у себя в уме, но не формулируйте. Скрытая лемма не является ошибкой: это искусная стенография, указывающая на наше знание основ.

Каппа (в сторону). Знание основ — это когда мы допускаем, что знаем все, а в действительности не знаем ничего 73.

Гамма. Если бы вы сознательно ввели предположения, то они были бы таковы: (а) вынимание грани всегда оставляет связную сеть и (в) всякая нетреугольная грань может быть диагоналями разделена на треугольники. Пока они были в вашем подсознании, они считались тривиально истинными, но цилиндр заставил их перескочить в сознательный ваш перечень в качестве тривиально ложных. Пока вы не были уличены цилиндром, вы даже не могли думать, чтобы эти две леммы могли быть ложными. Если теперь вы говорите, что вы так думали, то вы переписываете историю, чтобы очистить её от ошибки 74.

Тета. Не так давно, Альфа, вы осмеивали «скрытые» дополнительные условия, которые вырастали в определениях Дельты после каждого опровержения. А теперь это вы делаете «скрытые» дополнительные условия в леммах после каждого опровержения; это вы меняете свою позицию и стараетесь скрыть её, чтобы спасти лицо. Вас это не смущает?

Каппа. Ничто не может так меня позабавить, как припертый к стене догматик.

Надевши платье воинствующего скептика для уничтожения меньших порослей догматизма, Альфа теперь приходит в волнение, когда в свою очередь он тоже загоняется в угол такими же скептическими аргументами. Теперь он играет ва-банк, пытаясь одолеть контрапримеры Гаммы сначала при помощи защитного механизма, который он сам же обличил и запретил (устранение монстров), а затем проведя контрабандой резерв «скрытых лемм» в доказательство и соответствующих «скрытых условий» в теорему. Так в чем же разница?

Учитель. Помехой для Альфы был, конечно, догматический подход в его истолковании включения лемм. Он думал, что тщательное рассмотрение доказательства может дать совершенный анализ доказательства, содержащий все ложные леммы (так же, как и Бета думал, что он может перечислить все исключения). Он думал, что при помощи их включения может получить не только улучшенную, но и вполне совершенную теорему 75, не заботясь о контрапримерах. Цилиндр показал ему, что он не прав, но, вместо того чтобы допустить это, он теперь хочет назвать полным анализ доказательства, если он содержит все относящиеся сюда ложные леммы.

в) Метод доказательств и опровержений

Гамма. Я предлагаю принять цилиндр в качестве настоящего контрапримера для рассматриваемой теоремы. Я изобретаю новую лемму (или леммы), которая этим примером опровергается, и добавляю эту лемму (леммы) к первоначальному списку. Это как раз и делал Альфа. Но, вместо того чтобы «скрывать» их так, чтобы они сделались скрытыми, я возвещаю их публично.

Теперь цилиндр, ставивший ранее в тупик, — опасный глобальный, а не локальный контрапример (третьего типа) по отношению к старому анализу доказательства и соответствующей старой теореме, этот цилиндр станет безопасным глобальным и одновременно локальным контрапримером (второго типа) по отношению к новому анализу доказательства и соответствующей новой теореме.

Альфа думал, что его классификация контрапримеров была абсолютной; в действительности же она относилась только к его анализу доказательства. По мере роста анализа доказательства контрапримеры третьего типа превращаются в контрапримеры второго типа.

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства будет «строгим», или «имеющим силу», и соответствующая математическая теорема — истинной тогда и только тогда, если не будет для них контрапримеров третьего типа. Я называю этот критерий принципом обратной передачи ложности, так как он требует, чтобы глобальные контрапримеры были также локальными: ложность должна быть передана обратно от интуитивной догадки к леммам, от последующей части теоремы к предшествующей.

Если какой-нибудь глобальный, но не локальный контрапример нарушает этот принцип, мы восстанавливаем его добавлением к анализу доказательства подходящей леммы. Таким образом, принцип обратной передачи ложности является регулятивным принципом для анализа доказательства in statu nascendi (в сстоянии зарождения), а глобальный, но не локальный контрапример — ферментом в росте анализа доказательства.

Гамма. Вспомните, раньше, даже не найдя ни одного опровержения, мы всё же сумели обнаружить три подозрительные леммы и продвинуться в анализе доказательства!

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства может начинаться не только под давлением глобальных контрапримеров, но также и когда люди уже выучились остерегаться «убедительных» доказательств 76.

В первом случае все глобальные контрапримеры появляются в виде контрапримеров третьего типа и все леммы начинают свою карьеру в качестве «скрытых лемм». Они приводят нас к постепенному построению анализа доказательства и так один за другим превращаются в контрапримеры второго типа.

Во втором случае — когда мы уже начинаем подозревать и ищем опровержений, — мы можем прийти к далеко зашедшему вперёд анализу доказательства без всяких контрапримеров. Тогда мы имеем две возможности. Первая возможность состоит в том, что нам при помощи локальных контрапримеров удастся опровергнуть все леммы, содержащиеся в нашем анализе доказательства. Мы можем установить, как следует, что они будут также глобальными контрапримерами.

Альфа. Вот именно так я и открыл раму картины: я искал многогранник, который после удаления одной грани не мог быть развернут в один лист на плоскости.

Сигма. Тогда не только опровержения действуют как ферменты для анализа доказательства, но и анализ доказательства может действовать как фермент для опровержения. Какой нехороший союз между кажущимися врагами!

Ламбда. Это верно. Если догадка кажется вполне допустимой или даже самоочевидной, то должно доказать ее; может оказаться, что она основана на весьма софистических и сомнительных леммах. Опровержение лемм может привести к какому-нибудь неожиданному опровержению первоначальной догадки.

Сигма. К опровержениям, порождённым доказательством!

Гамма. Тогда «мощь логического доказательства заключается не в том, что оно принуждает верить, а в том, что оно наводит на сомнения» 77.

Ламбда. Но позвольте мне вернуться ко второй возможности: когда мы не находим никаких локальных контрапримеров для подозреваемых лемм.

Сигма. То есть когда опровержения не помогают анализу доказательства. Что же тогда может случиться?

Ламбда. Мы тогда окажемся общепризнанными чудаками. Доказательство приобретает абсолютную респектабельность и леммы сбросят всякое подозрение.

Наш анализ доказательства скоро будет забыт 78.

Без опровержений нельзя поддерживать подозрение; прожектор подозрения скоро выключается, если контрапример не усиливает его, направляя яркий свет опровержения на пренебреженный аспект доказательства, который остался незамеченным в сумерках «тривиальной истины».

Все это показывает, что мы не можем поместить доказательство и опровержение на отдельные полочки. Вот почему я предлагаю наш «метод включения лемм» перекрестить в «метод доказательств и опровержений».

Позвольте мне выразить его основные черты в трёх эвристических правилах.

Правило 1. Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать её и опровергнуть её. Тщательно рассмотрите доказательство, чтобы приготовить список нетривиальных лемм (анализ доказательства); найдите контрапримеры и для догадки (глобальные контрапримеры) и для подозрительных лемм (локальные контрапримеры).

Правило 2. Если у вас есть глобальный контрапример, то устраните вашу догадку, добавьте к вашему анализу доказательства подходящую лемму, которая будет опровергнута им, и замените устранённую догадку исправленной, которая включила бы эту лемму как условие 79. Не позволяйте отбрасывать опровержения как монстры 80. Сделайте явными все «скрытые леммы» 81.

Правило 3. Если у вас есть локальный контрапример, то проверьте его, не будет ли он также глобальным контрапримером. Если он будет им, то вы можете легко применить правило 2.

г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства

Альфа. Что в вашем Правиле 2 вы подразумевали под термином «подходящая?»

Гамма. Это совершенно безразлично. Может быть добавлена любая лемма, которая отвергается рассматриваемым контрапримером: любая такая лемма восстановит силу анализа доказательства.

Ламбда. Что такое! Значит, лемма вроде — «Все многогранники имеют но крайней мере 17 ребер» — будет иметь отношение к цилиндру! И всякая другая случайная догадка ad hoc будет вполне пригодной, если только её можно будет отвергнуть при помощи контрапримера.

Гамма. А почему нет?

Ламбда. Мы уже критиковали устранителей монстров и исключений за то, что они забывают о доказательствах 82. А теперь вы делаете то же самое, изобретая настоящий монстр: анализ доказательства без доказательства! Единственная разница между вами и устранителем монстров состоит в том, что вы хотели бы заставить Дельту сделать явными свои произвольные определения и включить их в теорему в качестве лемм.

И нет никакой разницы между устранением исключений и вашим анализированием доказательства. Единственным предохранителем против таких методов ad hoc будет употребление подходящих лемм, то есть лемм, соответствующих духу мысленного эксперимента! Или вы хотите изгнать из математики доказательства и заменить их глупой формальной игрой?

Гамма. Лучше это, чем ваш «дух мысленного эксперимента!» Я защищаю объективность математики против вашего психологизма.

Альфа. Благодарю вас, Ламбда, вы снова поставили мой вопрос: новую лемму не изобретают с потолка, чтобы справиться с глобальным, но не локальным контрапримером; скорее, с усиленной тщательностью рассматривают доказательство и в нём открывают эту лемму. Поэтому я, дорогой Тета, не делал скрытых лемм и я, дорогой Каппа, не проводил их «контрабандой» в доказательство. Доказательство содержит все такие леммы, но зрелый математик понимает все доказательство уже по короткому очерку. Мы не должны смешивать непогрешимое доказательство с неточным анализом доказательства. Все ещё существует неопровержимая главная теорема — «Все многогранники, над которыми можно выполнить мысленный эксперимент, или, короче, все многогранники Коши будут эйлеровыми». Мой приблизительный анализ доказательства провёл пограничную линию для класса многогранников Коши карандашом, который — я допускаю — не был особенно острым. Теперь эксцентрические контрапримерьт учат нас острить наш карандаш. Но, во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание карандаша не является творческой математикой.

Гамма. Я сбился с толку. Какова же ваша позиция? Сначала вы были чемпионом по опровержениям.

Альфа. Ох, мне все больнее! Зрелая интуиция сметает в сторону споры.

Гамма. Ваша первая зрелая интуиция привела вас к «совершенному анализу доказательства». Вы думали, что ваш «карандаш» был абсолютно острым.

Альфа. Я забыл о трудностях лингвистических связей — особенно с педантами и скептиками. Но сердцем математики является мысленный эксперимент — доказательство. Его лингвистическая артикуляция — анализ доказательства — необходима для сообщения, но не относится к делу. Я заинтересован в многогранниках, а вы в языке. Разве вы не видите бедности ваших контрапримеров? Они лингвистичны, но не многогранны.

Гамма. Тогда опровержение теоремы только выдаёт нашу неспособность понять её скрытые леммы?

Такая «теорема» будет бессмысленна, пока мы не поймём её доказательства?

Альфа. Так как расплывчатость языка делает недостижимой строгость анализа доказательства и превращает образование теорем в бесконечный процесс, то зачем же беспокоиться о теореме? Работающие математики этого, конечно, не делают. Если будет приведён ещё какой-нибудь незначительный контрапример, то они не допустят, чтобы их теорема была отвергнута, но самое большее, что «область её применимости должна быть подходящим образом сужена».

Ламбда. Итак, вы не заинтересованы ни в контрапримерах, ни в анализе доказательства, ни во включении лемм?

Альфа. Это правда. Я отбрасываю все ваши правила. Вместо них я предлагаю только одно единственное: стройте строгие (кристально ясные) доказательства.

Ламбда. Вы придерживаетесь мнения, что строгость анализа доказательства недостижима. А достижима ли строгость доказательства? Разве «кристально ясные» мысленные эксперименты не могут привести к парадоксальным или даже противоречивым результатам?

Альфа. Язык расплывчат, но мысль может достичь абсолютной строгости.

Ламбда. Но ведь ясно, что «на каждой стадии эволюции наши отцы думали, что они достигли её. Если они обманывали себя, то разве и мы также не плутуем сами с собой?» 83

Альфа. «Сегодня достигнута абсолютная строгость» 84. (Смех в аудитории85.

Гамма. Эта теория «кристально ясного» доказательства представляет чистый психологизм 86.

Альфа. Все же лучше, чем логико-лингвистический педантизм вашего анализа доказательства 87.

Ламбда. Отбросив бранные слова, я тоже являюсь скептиком в отношении вашего понимания математики как «существенно безъязычной деятельности ума» 88.

Каким образом деятельность может быть истинной или ложной? Только членораздельная мысль может питать истину. Доказательство может быть недостаточным: нам также надо установить, что доказывает доказательство. Доказательство представляет только одну стадию работы математика, за которой следует анализ доказательства и опровержения и которая заключается строгой теоремой. Мы должны комбинировать «строгость доказательства» со «строгостью анализа доказательства».

Альфа. Вы все ещё надеетесь, что в конце дойдёте до совершенно строгого анализа доказательства? Если так, то скажите мне, почему вы, «стимулированные» цилиндром, не начали с формулировки вашей новой теоремы? Вы только указали её. Её длина и сложность заставили бы нас смеяться от отчаяния. И это только после первого из ваших новых контрапримеров! Вы заменили нашу первоначальную теорему последовательностью все более точных теорем, — но только в теории. А как относительно практики этой релятивизации?

Всё более и более эксцентрические контрапримеры будут учитываться всё более тривиальными леммами, давая «порочную бесконечность» 89 все более длинных и сложных теорем 90. Если мы чувствовали животворность критики, когда она казалась приводящей к истине, то теперь, когда она вообще разрушает всякую истину и гонит нас бесконечно и бесцельно, она, конечно, будет разочаровывающей. Я останавливаю эту порочную бесконечность в мысли, но в языке вы никогда не остановите её.

Гамма. Но я никогда не говорил, что здесь необходимо бесконечное множество контрапримеров. В некотором пункте мы можем дойти до истины и тогда поток опровержений прекратится. Но, конечно, мы не будем знать, когда это будет. Решающими являются только опровержения — доказательства же относятся к области психологии 91.

Ламбда. Я всё-таки верю, что свет абсолютной достоверности вспыхнет, когда взорвутся опровержения!

Каппа. А взорвутся ли они? А что если Бог так создал многогранники, что все правильные общие их определения, формулированные человеческим языком, будут бесконечно длинными? Разве не будет богохульным антропоморфизмом предполагать, что (божеские) верные теоремы обладают конечной длиной? Будьте откровенны; по той или другой причине нам всем надоели опровержения и складывание теорем по кусочкам. Почему бы нам не сказать «шабаш» и прекратить игру? Вы уже отказались от «Quod erat demonstrandum». Почему бы не отказаться также и от «Quod erat demonstratum?» Ведь истина только для Бога.

Тета (в сторону). Религиозный скептик — худший враг науки!

Сигма. Не будем чрезмерно драматизировать! В конце концов дело идёт лишь об узкой полутени неясности. Просто, как я сказал раньше, не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими».

Тета (в сторону). Трехзначная логика — конец критического рационализма!

Сигма … и мы область их применимости определяем с более или менее адекватной строгостью.

Альфа. Адекватной чему?

Сигма. Адекватной решению задачи, которую мы хотим решить.

Тета (в сторону). Прагматизм! Разве уж все потеряли интерес к истине?

Каппа. Или адекватной Zeitgeist! (Духу времени. — Прим. перев.) «Довлеет над нами строгость его» 92.

Тета. Историзм! (Падает в обморок.)

Альфа. Правила Ламбды для «строгого анализа доказательства» лишают математику её красоты, дарят нам дотошный педантизм длинных, сложных теорем, наполняющих скучные толстые книги, и могут даже при случае посадить нас в порочную бесконечность. Каппа ищет выхода в условности, Сигма в математическом прагматизме. Какой выбор для рационалиста!

Гамма. Должен ли такой рационалист насладиться «строгими доказательствами» Альфы, его нечленораздельной интуицией, «скрытыми леммами», осмеянием принципа обратной передачи ложности и исключением опровержений? Должна ли математика не иметь никаких отношений с критицизмом и логикой?

Бета. Во всяком случае я устал от всей этой, не приводящей к решению, словесной грызни. Я хочу заниматься математикой и я не заинтересован философскими трудностями оправдания её оснований. Даже если рассудок не в состоянии дать такое оправдание, то меня успокаивает мой природный инстинкт 93. Я чувствую, что у Омеги есть интересная коллекция возможных доказательств — я лучше бы послушал их.

Омега. Но я помещу их в «философскую» оболочку!

Бета. Мне нет дела до упаковки, если внутри имеется что-нибудь.

Замечание

В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики. Сделанное нами различие между доказательством и анализом доказательства и соответствующее различение строгости доказательства и строгости анализа доказательства, по-видимому, является решающим.

Около 1800 года строгость доказательства (кристально ясный мысленный эксперимент или конструкция) противопоставлялась путаной аргументации и индуктивному обобщению. Именно это подразумевал Эйлер под термином «rigida demonstratio», и на этом понятии была основана идея Канта о непогрешимой математике [см. его пример математического доказательства в книге (1781), стр. 716–717]. Точно так же думали, что человек доказывает то, что он вознамерился доказать. Никому не приходило в голову, что словесное выражение мысленного эксперимента сопряжено с какой-нибудь реальной трудностью. Аристотелева формальная логика и математика были двумя совершенно раздельными дисциплинами — математики считали первую совершенно бесполезной. Доказательство мысленного эксперимента имело полную убедительность без какой-нибудь формы «логической» структуры.

В начале XIX века поток контрапримеров вызвал смущение. Так как доказательства были кристально ясными, то опровержения должны были быть занятными шалостями, должны быть полностью отделены от несомненных доказательств. Введённая Коши революция строгости базировалась на эвристическом нововведении, что математик не должен останавливаться на доказательстве: он должен пойти вперёд и выяснить, что именно он доказал путём перечисления исключений, или, лучше, установления безопасной области, в пределах которой доказательство является справедливым. Но Коши — или Абель — не видели какой-либо связи между обеими задачами. Им ни когда не приходило в голову, что если они открыли исключение, то им следовало бы ещё раз обратить внимание на доказательство. (Другие практиковали устранение или приспособление монстров, или даже «закрывали глаза» — но все соглашались, что доказательство представляет табу и не может иметь никакого дела с «исключениями».)

Происшедший в XIX веке союз логики и математики имел два основных источника: неевклидову геометрию и вейерштрассову революцию строгости. Этот союз привёл к объединению доказательства (мысленного эксперимента) и опровержений и дал возможность развивать анализ доказательства, постепенно вводя дедуктивные формы в мысленный эксперимент доказательства.

Эвристическим нововведением было то, что мы назвали «методом доказательства и опровержений»: оно впервые соединило логику и математику.

Вейерштрассова строгость одержала победу над её реакционными оппонентами с устранениями монстров и скрытыми леммами, которые пользовались лозунгами вроде «скуки от строгости», «искусственности против красоты» и так далее Строгость анализа доказательства стала выше строгости доказательства, но большинство математиков мирилось с таким педантизмом лишь до тех пор, пока он обещал им полную достоверность.

Теория множеств Кантора, давшая ещё одну жатву неожиданных опровержений «строго доказанных» теорем, обратила многих членов старой гвардии Вейерштрасса в догматиков, всегда готовых сражаться с «анархистами» при помощи устранения новых монстров или отыскания «скрытых лемм» в их теоремах, которые представляли последнее слово строгости, и в то же время карали «реакционеров» более старого типа за такие же грехи.

Затем некоторые математики поняли, что стремление к строгости анализа доказательства в методе доказательства и опровержений ведёт к порочной бесконечности. Началась «интуиционистская» контрреволюция; разрушающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательства был осуждён и для доказательства были изобретены новые экстремистские стандарты строгости, математика и логика были разведены ещё раз.

Логики пытались снасти это супружество и провалились на парадоксах.

Гилбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательства и потребовала остановки их бесконечных спусков путём кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией. «Обосновательный слой», область не подлежащего критике предварительного знания (Uncriticisable familiarity), переместился в мысленные эксперименты математики. (См. Lakatos, 1962, стр. 179–184.)

При каждой «революции строгости» анализ доказательства проникал, все глубже в доказательства вплоть до «обосновательного слоя» (foundational layer) хорошо знакомого основного знания (familiar background knowledge), где верховно правила кристально ясная интуиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, то есть местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтверждение. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хитрость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики. Но эта история лежит вне пределов настоящего исследования.

Приме­чания: Список примечаний представлен на отдельной странице, в конце издания.
Содержание
Новые произведения
Популярные произведения