- См. Чёрч (Church) (1956), 1, стр. 77. Также у Пеано (1894), стр. 49 и у Уайтхеда — Рассела (1913), 1, стр. 12. Это интегральная часть евклидовой программы, формулированной Паскалем (1658); ср. Лакатос (1962), стр. 158.
- Подробности и аналогичные ссылки см. в библиографическом списке.
- Б. Рассел (В. Russel, 1901). Эта работа была перепечатана как пятая глава труда Рассела (1918) под заглавием «Математика и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его «сколь возможно романтическим».
- Согласно Тюркетту (Turquette), положения Гёделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи (Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них не замечает, что особый статус положений Гёделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики определённо являются догадками, которые с точки зрения догматиста вряд ли возможно разделить на догадки a priori и a posteriori.
- Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1962а); Bernays (1947), в особенности стр. 187.
- Popper (1934), затем (1945), в особенности стр. 90 в четвёртом издании (1962, стр. 97), а также (1957), стр. 147 и сл.
- Это можно иллюстрировать работами Тарского (1930а) и (1930b). В первой статье Тарский пользуется термином «дедуктивные науки» явно как стенографическим выражением для «формализованных дедуктивных наук». Он говорит: «Формализованные дедуктивные дисциплины составляют поле исследований метаматематики примерно в том же смысле, как пространственные сущности составляют поле исследований для геометрии». Этой разумной формулировке придаётся занятный империалистический уклон во второй статье. «Дедуктивные дисциплины составляют предмет (subjectmatter) методологии дедуктивных наук примерно в таком же смысле, в каком пространственные сущности составляют предмет геометрии, а животные — зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представляются в форме, подходящей для объектов научного исследования. Неподходящими будут, например, такие, которые не опираются на определённый логический базис, не имеют точных правил вывода (inference) и в которых теоремы формулируются в обычных двусмысленных и неточных терминах разговорного языка — одним словом, те, которые не формализованы. Метаматематические исследования, таким образом, сводятся к рассмотрению лишь формализованных дедуктивных дисциплин». Нововведением является то, что в первой формулировке устанавливается, что предметом метаматематики являются формализованные дедуктивные дисциплины, в то время как вторая говорит, что предмет метаматематики сводится к формализованным дедуктивным дисциплинам только по той причине, что неформализованные дедуктивные дисциплины вообще не являются подходящим предметом научного исследования. Это предполагает, что предыстория формализованной дисциплины не может быть предметом научного исследования, в то время как, наоборот, предыстория зоологического вида вполне может быть предметом научной теории эволюции. Никто не будет сомневаться, что к некоторым проблемам, касающимся математической теории, можно подойти только после того, как они будут формализованы, совершенно так же, как некоторые проблемы относительно человеческих существ (например, касающиеся их анатомии) могут быть изучаемы только после их смерти. Но на этом основании не многие будут утверждать, что человеческие существа будут «пригодны для научного исследования», только когда они «представляются в мертвом виде», и что, следовательно, биологические исследования сводятся к изучению мёртвых человеческих существ, хотя я не был бы изумлён, если бы какой-нибудь энтузиаст — ученик Везалия в славные дни ранней анатомии, когда появились новые мощные методы диссекции, отождествил биологию с анализом мёртвых тел. В предисловии к работе (1941) Тарский подчёркивает своё отрицание возможности какой-нибудь методологии, отличной от формальных систем: «Курс методологии эмпирических наук… должен главным образом состоять из оценок и критик скромных попыток и безуспешных усилий». Причина заключается в том, что, поскольку Тарский определяет научную теорию «как систему подобранных утверждений, расположенных в соответствии с некоторыми правилами» (там же), то эмпирические науки не являются науками.
- Одно из наиболее опасных заблуждений сторонников формалистской философии заключается в том, что (1) они стараются установить что-нибудь (вполне правильно) относительно формальных систем; (2) затем сказать, что это применимо и к «математике» — это будет опять правильно, если мы примем отождествление математики с формальными системами; (3) наконец, со скрытым изменением смысла, использовать термин «математика» в обычном смысле. Так, Куайн говорит (1951, стр. 87), что «это отражает характерную для математики ситуацию; математик наталкивается на своё доказательство при помощи неуправляемой интуиции и «счастья», а затем другие математики могут проверить его «доказательство». Но проверка обычного доказательства часто представляет очень деликатное предприятие, и, чтобы напасть на «ошибку», требуется столько же интуиции и счастья, сколько и для того, чтобы натолкнуться на доказательство; открытие «ошибок» в неформальных доказательствах иногда может потребовать десятилетий, если не столетий.
- Пуанкаре и Пойа предлагают «основной биологический закон» Геккеля относительно онтогенеза, повторяющего филогенез, применять также и к умственному развитию, в частности, к математическому умственному развитию [Пуанкаре (1908), стр. 135 и Пойа (1962b)]. Цитируем Пуанкаре: «Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного повторяет всю историю его предков в течение геологического времени. По-видимому, то же происходит и в развитии ума… По этой причине история науки должна быть нашим первым руководителем».
- По поводу дискуссии относительно роли математики в догматико-скептическом споре см. мою работу (1962).
- Впервые замечено Эйлером (1750). Первоначальной его задачей было дать классификацию многогранников. На трудность этого было указано в заключении издателя: «В то время как в плоской геометрии многоугольники (figurae rectilineae) легко могут быть классифицированы по числу сторон, которое, конечно, всегда будет равно числу углов, в стереометрии классификация многогранников (corpora hedris planis inclusa) представляет собой значительно более трудную задачу, так как только одно число граней недостаточно для этой цели». Ключом к полученному Эйлером результату было как раз введение понятий вершины и ребра; он первый указал на то, что кроме числа граней число точек и линий на поверхности многогранника определяет его (топологический) характер. Интересно отметить, что, с одной стороны, он очень хотел подчеркнуть новизну его концептуальной основы и что ему пришлось изобрести термин «acies» (ребро) вместо старого «latus» (сторона), так как «latus» было понятием, относящимся к многоугольникам, тогда как ему нужно было ввести понятие, относящееся к многогранникам; с другой стороны, он всё же удержал термин «angulus sоlidus» (телесный угол) для подобных точке вершин. С недавнего времени стали считать, что приоритет в этом деле принадлежит Декарту. Основанием этого притязания является рукопись Декарта (ок. 1639), скопированная с оригинала Лейбницем в Париже в 1675–1676 годах и снова открытая и опубликованная Foucher de Careil в 1860 году. Однако приоритет Декарту отдать нельзя. Верно, что Декарт устанавливает, что число плоских углов равно 2j + 2 - 4, где j обозначает у него число граней, а a — число телесных углов. Также верно то, что он устанавливает, что плоских углов вдвое больше, чем рёбер (latera). Простое соединение двух этих положений, конечно, даст формулу Эйлера. Но Декарт не видел надобности сделать это, так как он всё же мыслил в терминах углов (плоских и телесных) и граней и не сделал сознательного революционного изменения, а именно: не ввёл понятия нуль-мерных вершин, одномерных рёбер и двумерных граней в качестве необходимого и достаточного основания для полной топологической характеристики многогранников.
- Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал её на призмах, пирамидах и так далее. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырёх цветов вполне достаточно для раскрашивания карты. Фазы догадки и испытания в случае V — Е + F = 2 разобраны Пойа (1954), т. 1 (первые пять отделов третьей главы, стр. 41). Пойа остановился здесь и не разобрал фазы доказательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начинается там, где Polya останавливается.
- Так думал Эйлер в 1750 году (стр. 119 и 124). Но позднее (1751) он предложил доказательство.
- Идея этого доказательства восходит к Коши (1811).
- Мнение Дельты, что это доказательство установило «теорему», вне всякого сомнения, разделялось многими математиками XIX века, например Crelle (Crelle, 1827), т. II, стр. 671, Маттисеп (Matthiesen, 1863), стр. 449, Жонкьер (Jonquieres, 1890а и 1890b). Стоит привести характерный пассаж: «После доказательства Коши стало абсолютно несомненным, что изящное соотношение V — Е + F = 2 применимо к многогранникам любога вида, как и установил Эйлер в 1752 году. В 1811 году вся нерешительность должна была исчезнуть» [Жонкьер (1890), стр. 111–112].
- Этот класс, по-видимому, очень передовой. Для Коши, Пуансо и многих других прекрасных математиков XIX века эти вопросы не существовали.
- Мысленный эксперимент (deiknymi) был наиболее древним образом математического доказательства. Он преобладал в доевклидовой греческой математике [см. Шабо (A. Szabo, 1958)]. То, что в эвристическом порядке догадки (или теоремы) предшествуют доказательствам, было общим местом у древних математиков. Это вытекает из эвристического предшествования «анализа» «синтезу» [см. прекрасный разбор у Робинсона (Robinson, 1936)]. По Проклу — «необходимо сначала знать, что ищешь» [Хизс (Heath, 1925, т. 1, стр. 129)]. «Они говорили, что теорема представляет то, что предложено с намерением доказать это предложение», — говорит Папп (там же, т. 1,10). Греки не думали много о предложениях, на которые они случайно наталкивались по ходу дедукции, если только предварительно о них не догадывались. Они называли поризмами — следствиями — те побочные результаты, которые получались из доказательства теоремы или решения задачи, результаты которых они непосредственно не искали; эти поризмы появлялись в таком виде случайно, без каких-нибудь добавочных трудов, и представляли, как говорит Прокл, нечто вроде плода, сбитого ветром (ermaion) или премии (kerdos) (Там же, стр. 278). В издательском послесловии к Эйлеру (1753) мы читаем, что арифметические теоремы «бывали открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгим доказательством». Как Эйлер, так и издатель для этого процесса открытия употребляют новейший термин «индукция» вместо древнего «analysis». Эвристическое предшествование результата перед аргументацией или теоремы перед доказательством глубоко укоренилось в математическом фольклоре. Приведём несколько вариаций на знакомую тему: говорят, что Хризипп написал Клеанфу: «Пришли только мне теоремы и тогда я найду доказательства» [Диоген Лаэрций (ок. 200), VII, 179], Говорят, что Гаусс жаловался: «Я уже давно имел мои результаты, но я ещё не знаю, как мне к ним прийти» [см. Арбер (Аrber, 1954), стр. 77)] и Риман: «Если бы я только имел теоремы! Тогда я смог бы достаточно легко найти доказательства» [См. Гёльдер (Holder, 1924), стр. 487]. Пойа подчёркивает: «Вы должны угадать математическую теорему, прежде чем вы её докажете» [(1954), т. 1, стр. VI]. Термин «квази-эксперимент» взят из вышеупомянутого издательского послесловия к Эйлеру (1753). Издатель пишет: «Поскольку мы должны отнести числа к области одного лишь чистого интеллекта, то нам трудно понять, каким образом наблюдения и квази-эксперименты могут быть полезными при исследовании природы чисел. Как я покажу здесь при помощи очень хороших доводов, известные в настоящее время свойства чисел действительно были большей частью открыты наблюдением…» Пойа по ошибке приписывает эту цитату самому Эйлеру (1954, т. 1, стр. 3).
- Люилье (Lhuilier), исправляя подобным образом доказательство Эйлера, сказал, что он делает только «небольшое замечание» (1813, стр. 179). Однако сам Эйлер, заметив неувязку, от казался от доказательства, а этого «небольшого замечания» не сделал.
- Коши думал, что для нахождения на каждой стадии треугольника, который может быть вынут с устранением или двух рёбер с вершиной, или лишь одного ребра, можно дать очень простую инструкцию для любого многогранника (1811, стр. 79). Это, конечно, связано с неспособностью вообразить многогранник, который не был бы гомеоморфным со сферой.
- Этот контрапример 1 был впервые замечен Люилье (1813, стр. 194). Но издатель Жергонн (Gergonne) добавил (стр. 180), что он и сам заметил это задолго до статьи Люилье. Этого не сделал Коши, опубликовавший своё доказательство за год до этого. Этот контрапример был через двадцать лет снова открыт Гесселем (Hessel, 1832, стр. 16). И Люилье и Гессель пришли к своему открытию, рассматривая минералогическую коллекцию, в которой они заметили несколько двойных кристаллов, где внутренний кристалл был непрозрачным, а внешний пропускал свет. Люилье признал, что стимул к своему открытию он получил от коллекции кристаллов своего друга профессора Пикте (1813, стр. 188), Гессель упоминает о кубах сернистого свинца, заключённых в прозрачных кристаллах полевого шпата (1834, стр. 16).
- Определение 1 встречается впервые в XVIII столетии, например, «Название многогранного тела или просто многогранника дают любому телу, ограниченному плоскостями или плоскими гранями» (Лежандр, 1794, стр. 160). Подобное же определение дано Эйлером (1750). Евклид, определяя куб, октаэдр, пирамиду, призму, не даёт определения общего термина «многогранник», но иногда пользуется им (например, книга XII, вторая задача, предложение 17).
- Определение два мы находим неявно в одной из работ Жонкьера, прочитанных во французской Академии против тех, кто хотел отвергнуть теорему Эйлера. Эти работы представляют целое сокровище техники удаления монстров. Он мечет громы против чудовищной пары всаженных кубов Люилье: «Эта система представляет не многогранник, но пару многогранников, каждый из которых не связан с другим… Многогранник, по крайней мере с классической точки зрения, заслуживает это имя прежде всего только тогда, когда точка может непрерывно двигаться по всей его поверхности; в данном случае это не так… Это первое исключение Люилье может быть поэтому устранено» (1890b, стр. 170). Это определение, противопоставленное Определению 1, хорошо подойдёт аналитическим топологам, которые совершенно не интересуются многогранниками как таковыми, по только их поверхностями, как горничная во время уборки.
- Контрапримеры 2, а и 2, b не были замечены Люилье и впервые открыты только Гесселем (1832, стр. 13).
- Определение три для устранения наших близнецов-тетраэдров впервые встречается у Мёбиуса (1865, стр. 32). Это путаное определение воспроизводится в некоторых новейших учебниках обычным авторитарным путем: «бери без разговоров»; история этого принципа, устраняющего монстры, которая по крайней мере уяснила бы его смысл, ещё не рассказана [см. Гилберт (Hilbert) Кон-Фоссен (Cohn-Vossen, 1956), стр. 200].
- Определение И, согласно которому эйлеровость была бы определяющей характеристикой многогранника, в действительности было предложено Балцером: «Обычные многогранники иногда (по Гесселю) называются эйлеровыми многогранниками. Было бы лучше найти специальное название для ненастоящих (uneigen-tliche) многогранников» (1860, т. II, стр. 207). Упоминание о Гесселе неправильно: Гессель использовал термин «эйлеров» просто как сокращённое название многогранников, для которых соотношение Эйлера справедливо в противоположность неэйлеровым (1832, стр. 29). Относительно Определения И см. также цитату из Шлефли в следующем примечании.
- «Морской еж» был впервые разобран Кеплером в его космологической теории (1619, кн. II, 19 и 26 и кн. V, гл. 1, 3, 9, 47). Название «морского ежа» принадлежит Кеплеру (cui nomen Echino feci). Рис. 7 скопирован с его книги (стр. 52), которая содержит ещё и другую картинку на стр. 182. Пуансо независимо открыл его второй раз; именно он указал, что формула Эйлера не приложима к нему (1809, стр. 48). Стандартный термин нашего времени «малый звездчатый многогранник» принадлежит Кэйли (1859, стр. 125). Шлефли вообще допускал звездчатые многогранники, но тем не менее отбросил наш малый звездчатый многогранник как монстр. По его мнению, — «это не будет настоящим многогранником, так как он не удовлетворяет условию V — Е + F = 2» (1852, § 34).
- Диспут о том, надо ли определять многоугольник так, чтобы включить и звездчатые многоугольники (Определение четыре или Определение 4’), является очень старым. Выставленный в нашем диалоге аргумент — что звездчатые многоугольники могут существовать как обыкновенные многоугольники в пространстве высших измерений — является новейшим топологическим аргументом, но можно выдвинуть и много других. Так, Пуансо, защищая свои звездчатые многогранники, в пользу допущения звездчатых многоугольников приводил аргументы, заимствованные из аналитической геометрии: «все эти различия (между обыкновенными и звездчатыми многоугольниками) являются более кажущимися, чем действительными, и полностью исчезают в аналитическом изложении, где эти различные виды многоугольников совершенно неразделимы. Ребру правильного многоугольника соответствует уравнение с действительными корнями, одновременно дающее ребра всех правильных многоугольников того же порядка. Таким образом, нельзя получить ребра правильного вписанного семиугольника, не найдя в то же время семиугольников второго и третьего рода. Обратно, если дана сторона правильного семиугольника, то можно определить радиус круга, в который он может быть вписан, но, делая это, мы найдём три различных круга, соответствующих трём родам семиугольника, который может быть построен на данной стороне; аналогично и для других многоугольников. Таким образом, мы имеем право дать название многоугольника этим новым звездчатым фигурам» (1809, стр. 26). Шрёдер пользуется аргументом Ганкеля: «В алгебре было весьма плодотворным распространение на рациональные дроби понятия о степени, первоначально связанного только с целыми числами; это подсказывает нам сделать такую же попытку и в геометрии, когда представится возможность»… (1862, стр. 56). Затем он показывает, что геометрическую интерпретацию многоугольников с числом сторон p/q можно найти в виде звездчатых многоугольников.
- Заявление Гаммы, что он может определить площадь звездчатых многоугольников, не блеф. Некоторые из защитников более широкого понятия о многоугольниках решили эту задачу, выставив более широкое определение площади многоугольника. Это, в частности, можно сделать очевидным в случае правильных звездчатых многоугольников. Мы можем взять площадь многоугольника как сумму площадей равнобедренных треугольников, которые соединяют центр вписанного или описанного круга со сторонами многоугольника. В этом случае, конечно, некоторые «части» звездчатого многоугольника будут считаться не один раз. В случае неправильных многоугольников, где у нас нет никакой выделяющейся точки, мы можем в качестве начала взять любую точку и рассматривать отрицательно ориентированные треугольники как отрицательные площади (Мейстер, 1770, стр. 179). Оказывается — и этого наверняка можно было ждать от «площади» — что определённая так площадь не будет зависеть от выбора начала (Мёбиус, 1827, стр. 218). Конечно, можно спорить с теми, кто не считает оправданным понятия «площади» как числа, полученного в результате такого подсчёта; однако защитники определения Мейстера — Мёбиуса называют его «правильным определением», которое «одно только научно оправдано» [замечания Р. Гаусснера (Haussner, 1906, стр. 115)]. Искание сущности было характерной чертой в спорах об определениях.
- Контрапример 4 мы найдём и в классическом труде Люилье (1813) на стр. 185. Жергопн добавил, что он тоже знал его. Но Грунерт не знал его четырнадцатью годами позже (1827), а Пуансо — сорока пятью годами (1858, стр. 67).
- Это парафраз из письма Эрмита к Стильтьесу: «Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных» (1893).
- «Исследования, производимые над… функциями, нарушающими законы, на универсальность которых возлагались надежды, рассматривались почти как распространение анархии и хаоса там, где прошедшие поколения искали порядка и гармонии» (Сакс, 1933, Предисловие). Сакс говорит здесь о жарких битвах устранителей монстров (вроде Эрмита) с опровергателями, характерных для последних десятилетий XIX века (и, конечно, начала XX века) в развитии современной теории функций действительного переменного, «ветви математики, которая имеет дело с контрапримерами» [Мунро (Munroe, 1953, Предисловие)]. Бушевавшая несколько позже между противниками и защитниками математической логики такая же ярая битва была её непосредственным продолжением. См. также подстрочные примечания 34 и 35.
- Определение пять было выставлено неутомимым устранителем монстров Жонкьером, чтобы убрать с дороги многогранник Люилье с туннелем (картинная рама): «И этот многогранный комплекс не будет настоящим многогранником в обычном смысле этого слова; действительно, если провести какую-нибудь плоскость через любую точку внутри одного из туннелей, проходящих через тело, то получающееся поперечное сечение составится из двух различных многоугольников, совершенно не связанных друг с другом; в обычном многограннике это может иметь место для некоторых положений секущей плоскости, а именно в случае некоторых невыпуклых многогранников, но не для всех таких» (1890b, стр. 171). Можно задаться вопросом, заметил ли Жонкьер, что его Определение пять исключает также некоторые невыпуклые сфероидальные многогранники.
- «Мы не должны забывать, что кажущееся сегодня уродством завтра может быть началом линии специального приспособления… Я подчеркнул важность редких, но крайне богатых следствием мутаций, влияющих на ход решающих эмбриональных процессов, которые могут положить начало тому, что можно назвать подающими надежды уродами, уродами, которые начнут новую эволюционную линию, если приспособятся к какой-нибудь незанятой окруженческой нише» (Гольдшмидт, 1933, стр. 544 и 547). Моё внимание было привлечено к этой работе Поппером.
- Парафраз из Пуанкаре (1908, стр. 132). Полный оригинальный текст таков: «Логика иногда делает чудовища. Вот уже с половины века мы наблюдаем, как появляется толпа странных функций, которые, по-видимому, пытаются возможно меньше походить на честные функции, служащие какой-нибудь цели. Нет уже больше непрерывности, а если иногда и бывает, то без производных, и так далее. Даже больше, со строго логической точки зрения, именно эти странные функции и являются наиболее общими, а те, с которыми встречаешься без особых поисков, уже являются только как частные случаи. Для них остаётся только самый маленький уголок. До сих пор, когда изобретали новую функцию, это было для какой-нибудь практической цели; сегодня их изобретают специально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого получить из них нельзя. Если бы логика была единственным руководителем учителя, то стало бы необходимым начинать с наиболее общих функций, то есть с наиболее странных. Именно начинающему пришлось бы разбираться в этом тератологическом музее». Пуанкаре обсуждает эту задачу в связи с положением в теории действительных функций, но это неважно.
- Парафраз из Данжуа (Denjoy, 1919, стр. 21).
- Берар (Berard, 1819, стр. 347 и 349).
- Гессель (Hessel, 1832, стр. 13). Гессель снова открыл в 1832 году «исключения» Люилье. Работу Люилье (1813) он прочёл как раз после отправки своей рукописи. Однако он решил не требовать назад своей работы, хотя большая часть её результатов уже оказалась опубликованной ранее; он думал, что острие его статьи должно быть направлено против «новейших авторов», игнорирующих эти исключения. Случилось, между прочим, что одним из этих авторов был издатель журнала, в который Гессель послал свою статью, а именно Крелле (A. I. Crelle). В своём курсе (1827) он «доказал», что теорема Эйлера верна для всех многогранников (т. II, стр. 671).
- Matthiesson (1863, стр. 49). Маттисен говорит здесь об «Lehr-buch der Geometrie» Heis’a и Eschweiler’a и об «Lehrbuch der Stereometrie» Grunert’a. Маттисен, однако, решил эту задачу не как Эта, устранением монстров, а их исправлением, как Ро (см. примечание 59).
- Это из введения Коши к его знаменитой книге (1821).
- Люилье и Жергонн были, по-видимому, уверены, что список Люилье содержит все исключения. Во введении к этой части работы мы читаем: «Каждый может легко убедиться, что теорема Эйлера справедлива вообще для всех многогранников, будут ли они выпуклыми, или нет, за исключением специально указанных случаев» [Люилье (1813, стр. 177)]. Затем в примечаниях Жергонна мы опять читаем: «… указанные исключения, по-видимому, являются единственными возможными» (там же, стр. 188). Но в действительности Люилье пропустил тетраэдров-близнецов, которые впервые были замечены только через двадцать лет Гесселем (1832). Следует отметить, что некоторые ведущие математики, даже математики с живым интересом к методологии, вроде Жергонна, могли верить, что можно полагаться на метод устранения исключений. Эта уверенность аналогична «методу деления» в индуктивной логике, согласно, которому для явлений может быть произведено полное перечисление возможных объяснений, и что вследствие этого метод experimentum crucis, исключающий все объяснения, кроме одного, доказывает это последнее.
- И. Ньютон (1717, стр. 380).
- Абель (1826). Его критика, по-видимому, направлена против эйлерова индуктивизма.
- Это тоже парафраз из цитированного письма, в котором Абель заботился об устранении исключений из общих «теорем» относительно функций и об установлении таким образом абсолютной строгости. Его оригинальный текст (вместе с предыдущей цитатой) таков: «В высшем анализе очень мало предложений доказано с окончательной строгостью. Везде встречаешься с этим несчастным путём заключения от частного к общему и можно удивляться, что этот процесс только очень редко приводит к тому, что называется парадоксом. Конечно, очень интересно посмотреть, в чём тут причина. По моему мнению, причина заключается в том, что аналитики большей частью занимались функциями, которые могут быть выражены степенными рядами. Как только появляются другие функции, что, конечно, встречается очень редко, движение вперёд не происходит, так как начинают получаться ложные заключения, следует бесчисленное множество ошибок, из которых одна подпирает другую»… (подчёркнуто мной. — Прим. авт.). Пуансо нашёл, что в теории многогранников, а также в теории чисел индуктивное обобщение «часто» терпит крушение: «В большей части свойства являются индивидуальными и не подчиняются какому-нибудь общему закону» (1809, § 45). Интригующая характеристика этой осторожности к индукции заключается в том, что отдельные крушения приписываются тому обстоятельству, что вся совокупность (фактов, чисел, многогранников), конечно, содержит удивительные исключения.
- Это опять очень близко подходит к методу Абеля. Таким же путём область «подозрительных» теорем о функциях Абель ограничил степенными рядами. В истории догадки Эйлера такое ограничение выпуклыми многогранниками было весьма обычным. Лежандр, например, дав своё общее определение многогранников, предлагает доказательство, которое, с одной стороны, неприменимо ко всем его многогранникам вообще, а с другой, применимо ко многим невыпуклым. Тем не менее в дополнительном примечании мелким шрифтом (может быть, эта мысль появилась после того, как он натолкнулся па никем ранее не. сформулированное исключение) он скромно, по безопасно отступает к выпуклым многогранникам (1809, стр. 161, 164, 228).
- Многих работающих математиков смущает вопрос, чем же являются доказательства, если они не могут доказывать. С одной стороны, они знают из опыта, что доказательства могут быть ошибочными, а с другой, — по своему догматистскому углублению в доктрину они знают, что подлинные доказательства должны быть безошибочными. Математики-прикладники обычно решают эту дилемму застенчивой, но крепкой верой, что доказательства чистых математиков являются «полными» и что они действительно доказывают. Чистые математики, однако, знают лучше — они уважают только «полные доказательства», которые даются логиками. Если же их спросить, какова же польза или функция их «неполных доказательств», то они большей частью теряются. Например, Харди (С. Н. Hardy) имел большое почтение к требованию логиками формальных доказательств, но когда захотел охарактеризовать математическое доказательство, «как мы работающие математики его знаем», то он сделал это следующим образом: «Строго говоря, такой вещи, как математическое доказательство, не существует; всё, что мы можем сделать в конце анализа, это только показать: доказательства представляют то, что Литтльвуд и я называем газом, риторическими завитушками, предназначенными для воздействия па психологию, картинками на доске во время лекции, выдумками для стимулирования воображения учеников» (1928, стр. 18). Уайлдер (R. L. Wilder) думает, что доказательство представляет «только процесс испытания, которому мы подвергаем внушения нашей интуиции» (1944, стр. 318). Пойа указывает, что доказательства, даже если они неполны, устанавливают связи между математическими фактами и это помогает нам удерживать их в нашей памяти: доказательства дают мнемотехническую систему (1945, стр. 191).
- L. Matthiessen (1863).
- Аргументация, что «морской еж» является «в действительности» обыкновенным прозаическим эйлеровым многогранником с 60 треугольными гранями, 90 ребрами и 32 вершинами — «un hexacontaedre sans epithete» — была выставлена крепким бойцом за правильность эйлеровой теоремы Жонкьером (1890а, стр. 115). Однако идея понимания неэйлеровых звездчатых многогранников, как эйлеровых многогранников, состоящих из треугольников, но происходит от Жонкьера, но имеет драматическую историю (см. примечание 49).
- Ничто не может быть более характерным для догматистской теории познания, как её теория ошибок. Действительно, если некоторые истины очевидны, то нужно объяснить, каким образом кто-нибудь может в них ошибаться, иными словами, почему истины не бывают для всех очевидными. Каждая догматистская теория познания в соответствии со своей частной теорией ошибок предлагает свою частную терапевтику для очистки мозга от ошибок. [Ср. Поппер (1963), Введение.].
- Пуансо наверняка выстирал свои мозги когда-то между 1809 и 1858 годами. Ведь как раз Пуансо снова открыл звездчатые многогранники, впервые проанализировал их с точки зрения эйлеровости и установил, что некоторые из них, вроде нашего малого звездчатого додекаэдра, не удовлетворяют формуле Эйлера (1809). И вот этот самый Пуансо категорически утверждает в своей работе (1858), что формула Эйлера «верна не только для выпуклых многогранников, но и для любого какого угодно многогранника, включая и звездчатые». На стр. 67 Пуансо для звездчатых многогранников употребляет термин «polyedres d’espece superieure». Противоречие очевидно. Как его объяснить? Что случилось с контрапримером — звездчатым многогранником? Ключ лежит в первой, невинно выглядящей сентенции статьи: «Всю теорию многогранников можно привести к теории многогранников с треугольными гранями». Иными словами, Пуансо — Альфа после стирки мозгов превратился в Пуансо — Ро; теперь он видит одни лишь треугольники там, где раньше видел звездчатые многоугольники; теперь он видит только примеры там, где раньше видел контрапримеры. Самокритика, должно быть, производилась потихоньку, скрыто, так как в научной традиции не существует образцов для выполнения таких поворотов. Можно только задуматься, встретились ли ему когда-нибудь кольцеобразные грани, и если да, то сумел ли он сознательно перетолковать их своим треугольным зрением. Изменение зрения не всегда действует в том же самом направлении. Например, Беккер (С. Becker) в своей работе (1869), увлечённый новосозданными понятиями одно- и многосвязных областей (Риман, 1851), допускал кольцеобразные многоугольники, но остался слепым по отношению к звездчатым (стр. 66). Через пять лет после этой статьи, в которой претендовал на «окончательное» решение задачи, он расширил своё зрение и снова увидел звездчато-многоугольные и звездчато-многогранные фигуры там, где раньше видел лишь треугольники и треугольные многогранники (1874).
- Это часть стоической теории ошибок, приписываемой Хрисиппу [см. Аэций (ок. 150, IV, 12, 4); также Секст Эмпирик (ок. 190, I, 249)]. По теории стоиков «морской еж» составляет часть внешней действительности, которая производит впечатление на нашу душу: это phantasia или visum. «Умный человек не должен допускать некритического принятия (synkatathesis или adsensus) phantasia, пока она не созреет в ясную и определённую идею (phantasia kataleptike или comprehensio), чего она не может сделать, если является ложной. Совокупность ясных и определённых идей образует науку (episteme). В нашем случае воздействие «морского ежа» на мозг Альфы будет малым звездчатым додекаэдром, а на мозг Ро — треугольным гексакоптаэдром. Ро хочет претендовать на то, что звездчато-многогранное зрение Альфы, вероятно, не сможет созреть в ясную и определённую идею, очевидно, потому, что оно опровергает «доказанную» формулу Эйлера. Таким образом, звездчато-многогранное толкование отпадёт, и ясным и определённым станет его «единственная» альтернатива, а именно треугольное толкование.
- Это стандартная критика скептиков претензий стоиков, что они могут отличить phantasia от phantasia kataleptike [см, Секст Эмпирик (ок. 190, I, 405)].
- Кеплер (1619), кн. II, предложение XXVI.
- Это точное изложение взглядов Кеплера.
- Я припоминаю, что Поппер различал три уровня понимания. Самый низший — это приятное чувство, что понял аргументацию. Средний уровень — это когда можешь повторить её. Высший уровень — когда можешь опровергнуть её.
- Контрапример 6 был замечен Люилье (1813, стр. 186); Жергонн сразу принял новизну его открытия. Но почти через пятьдесят лет Пуансо не слышал о нём (1858), а Маттисен (1863) и восьмьюдесятью годами позже де Жонкьер (1890 b) рассматривали его как монстр (см. подстрочные примечания 49 и 59). Примитивные устранители XIX века присоединили его к списку других исключений в качестве курьеза: «В качестве первого примера обыкновенно показывают случай трехгранной пирамиды, прикреплённой к грани тетраэдра так, чтобы ни одно ребро первой не совпадало с ребром второй. “Довольно странно, что в этом случае V — Е + F = 3, — вот что написано в моём учебнике для коллежей. И этим кончилось дело» [Маттисен (1863, стр. 449)]. Современные математики стремятся забыть о кольцеобразных гранях, которые могут быть несущественными для классификации трубопроводов, но могут получить значение в других контекстах. Штейнгауз говорит в своей книге (1960): «Разделим глобус на F стран (мы будем рассматривать моря и океаны как землю). Тогда при любом политическом положении мы будем иметь V + F = E + 2» (стр. 273). Но вряд ли можно думать, что Штейнгауз уничтожит Сан-Марино или Западный Берлин просто потому, что их существование опровергает теорему Эйлера. (Конечно, он может избежать того, чтобы озера, вроде Байкала, сделались странами, если назовёт их озерами, так как он сказал, что только моря и океаны могут быть рассматриваемы как страны).
- «Мемуар Люилье состоит из двух совершенно различных частей. В первой автор предлагает первоначальное доказательство теоремы Эйлера. Во второй он ставит цель указать исключения, которые имеет эта теорема» (Примечание Жергонна издателя к статье Люилье в книге Люилье (1813, стр. 172). (Подчёркнуто мной. — Прим. авт.) Захариас (Zacharias) в своей работе (1931) даёт некритическое, но верное описание такого разделения на два помещения: «В XIX столетии геометры, кроме нахождения новых доказательств теоремы Эйлера, занимались установлением исключений, которые эта теорема представляет в некоторых условиях. Такие исключения были, между прочим, установлены Пуансо. Люилье и Гессель попытались дать классификацию исключений»… (стр. 1052).
- Харди, Литтльвуд, Уайлдер, Пойа, по-видимому, упустили это из вида (см. примечание 45).
- Этот стандартный образец является по существу единственным описанным в классической книге Пойа и Сеге (Szego, 1925, стр. VII): «Должно исследовать каждое доказательство, чтобы убедиться, действительно ли были использованы все предположения; нужно попытаться получить то же самое следствие из меньшего числа предположений… и удовлетвориться можно только, когда контрапримеры покажут, что границы возможного уже достигнуты».
- «Спаивание» двух многогранников при помощи скрытых рёбер было выставлено в качество аргументации Жонкьером (1890, стр. 172), который устранение монстров применяет против полостей и туннелей, а исправление — против увенчанных кубов и звездчатых многогранников. Первым протагонистом использования исправления монстров в защите теоремы Эйлера был Маттисен (1863). Он последовательно использует исправление монстров; при помощи введения скрытых рёбер и граней ему удаётся «выяснить» всякую неэйлеровость, включая многогранники с туннелями и полостями. В то время как у Жонкьера спаивание представляет полную триангуляцию кольцеобразной грани, Маттисен спаивает с экономией, проводя лишь минимальное число рёбер, превращающих грань в односвязные подграни (рис. 14). Маттисен удивительно уверен в своём методе превращения революционных контрапримеров в хорошо исправленные буржуазные эйлеровы образцы. Он считает, что «всякий многогранник может быть так проанализирован, что будет подтверждать теорему Эйлера…» Он перечисляет предполагаемые исключения, отмеченные поверхностным наблюдателем, и затем утверждает: «В каждом таком случае мы можем показать, что многогранник имеет скрытые грани и ребра; если пересчитать их, то они делают теорему V — Е + F = 2 справедливой даже для этих видимых исключительных случаев». Мысль, что при помощи проведения дополнительных рёбер, или граней, некоторые неэйлеровы многогранники могут быть преобразованы в эйлеровы, происходит, однако, не от Маттисена, но от Гесселя. Последний иллюстрировал это тремя примерами, используя изящные фигуры (1832, стр. 15). Но он использовал этот метод не для «исправления», но, наоборот, для «разъяснения исключений», показывая «совершенно аналогичные многогранники, для которых эйлеров закон справедлив».
- Эта последняя лемма слишком строга. Для целей доказательства достаточно будет заменить её такой леммой, что «для получающейся после растягивания и триангулирования плоской треугольной сети V — Е + F = 1». Коши, по-видимому, не заметил эту разницу.
- В действительности такое доказательство было впервые предложено Рейхардом (Н. Reichardt, 1941, стр. 23), а также Ван дер Варденом (1941). Гилберт и Кон-Фоссен были удовлетворены лишь тем, что истинность утверждения Беты «легко увидеть» (1932, стр. 292 английского перевода).
- Polya (1945, стр. 142).
- Эта последняя фраза взята из интересной работы Алисы Амброз (Alice Ambrose, 1959, стр. 438).
- См. примечание 17. Метафора «застегивания молнии» изобретена Брайтвайтом (R. B. Braithwaite); однако он говорит только о «логических» и «теоретико-познавательных» застегивателях молний, но не об «эвристических» (1953, особенно стр. 352).
- Устранение монстров в защиту теоремы является очень важным приёмом в неформальной математике. «В чём грешат примеры, для которых неверна формула Эйлера? Какие геометрические условия, уточняющие значения F, V и Е, могут обеспечить справедливость формулы Эйлера?» [Polya (1954), I, упр. 29]. Цилиндр даётся в упражнении 24. Ответ таков: «… ребро … должно заканчиваться в углах» (стр. 225)… Пойа формирует это вообще: «Довольно часто встречающееся в математических исследованиях положение заключается в следующем: теорема уже сформулирована, но нам требуется дать более точное определение смысла терминов, употреблённых при формулировке, чтобы сделать её строго доказанной» (стр. 55).
- Локальные, но не глобальные контрапримеры были разобраны в главе 3.
- Это соответствует парадоксу подтверждения [Гемпель (Hempel, 1945)].
- См. подстрочное примечание 61.
- См. реплику Альфы.
- Истинные утверждения, не имеющие содержания (vacuously true), о которых говорит Гамма, представляют большое нововведение XIX века. Задний план этой проблемы ещё не раскрыт.
- «Евклид употребляет аксиому, совершенно не сознавая её» (Russell, 1903, стр. 407). «Сделать (sic!) скрытое допущение» является общей фразой у математиков и учёных. См. также обсуждение Гамовым доказательства Коши (1953, стр. 56) или Ивс-Ньюсома (Eves-Newsom) об Евклиде (1958, стр. 84).
- См. реплику Альфы.
- Хорошие учебники неформальной математики обычно уточняют свою «стенографию», то есть те ложные или истинные леммы, которые они считают настолько тривиальными, что не заслуживают упоминания. Стандартное выражение для этого таково: «Мы предполагаем знакомство с леммами типа х». Количество того, что предполагается известным, уменьшается по мере того, как критика знание предполагаемое превращает в знание настоящее. Коши, например, даже не заметил, что его прославленное сочинение (1821) предполагало «знакомство» с теорией действительных чисел. Он отбросил бы как монстр всякий контрапример, который потребовал бы явного установления лемм о природе иррациональных чисел. Не так поступили Вейерштрасс и его школа: учебники по неформальной математике теперь содержат новую главу по теории действительных чисел, в которой собраны все эти леммы. Но в их «введениях» обычно принимается «знакомство с теорией рациональных чисел». См., например, Hardy «Pure Mathematics», начиная со второго издания (1914) и далее; в первом издании все ещё считалось, что теория действительных чисел относится к предполагаемому у читателей знанию; или Rudin (1953). Более строгие учебники ещё более уменьшают предполагаемое знание: Landau во введении к своей знаменитой книге (1930) предполагает знакомство только с «логическим рассуждением и немецким языком». Иронией судьбы Тарский в это же самое время показал, что опускаемые таким образом абсолютно тривиальные леммы могут быть не только неверными, но и несовместимыми, поскольку немецкий является семантически замкнутым языком. Кто может сказать, когда заявление «автор признает своё невежество в области x» заменит авторитетный эвфемизм «автор предполагает знакомство с областью x?» Наверное тогда, когда будет установлено, что знание не имеет основ.
- Когда это было впервые открыто, такая скрытая лемма рассматривалась как ошибка. Когда Беккер первый указал на «скрытое» (stillscliweigend) предположение в доказательстве Коши (он цитировал доказательство из вторых рук через Балцера, 1827), то он назвал его «ошибкой» (1869, стр. 68). Он обратил внимание на то, что Коши все многогранники рассматривал как простые; его лемма была не только скрытой, но и ложной. Однако историки не могут представить себе, чтобы большие математики делали такие ошибки. Настоящую программу, как нужно фальсифицировать историю, можно найти у Пуанкаре (1908): «Доказательство, не являющееся строгим, есть ничто. Я думаю, что никто не станет оспаривать эту истину. Но если принимать её слишком буквально, то мы должны прийти к заключению, что, например, до 1820 года. не существовало математики; это, очевидно, было бы чрезмерным: геометры того времени быстро понимали то, что мы теперь объясняем пространно и долго. Это не значит, что они этого совершенно не замечали, но они слишком скоро проходили через это. А заметить это как следует сделало бы необходимым потрудиться сказать это» (стр. 374). Замечание Беккера об «ошибке» Коши должно быть переписано на манер 1984 года: «double plus ungood refs unerrors rewrite fullwise» («Язык 1984 года», изобретённый английским писателем Орвеллом, не создаёт новых слов, но отбрасывает лишние. Зачем писать «и», если существует термин «плюс», или «плохой», если можно сказать «нехороший?» В переводе на русский язык фраза звучала бы так: «двоякие плюс нехорошие опровержения неошибок переписывать полностью». — Прим. перев.). Это переписывание было сделано Штейпицем, который настаивал на том, что «тот факт, что эта теорема не могла быть верной в общем случае, вероятно, не мог оставаться незамеченным» (1931, стр. 20). Пуанкаре сам применил свою программу к эйлеровой теореме: «Известно, что Эйлер доказал равенство V — Е + F = 2 для выпуклых многогранников» (1893). Эйлер, конечно, высказал свою теорему для всех многогранников.
- См. реплику Альфы.
- Наш класс был скорее передовым. Альфа, Бета и Гамма выразили подозрение против трёх лемм, когда ещё не появились глобальные контрапримеры. В действительной истории анализ доказательства появился позже через много декад: в течение долгого периода контрапримеры или замалчивались, или заклинались как чудовища, или записывались как исключения. Эвристическое движение от глобального контрапримера к анализу доказательства — применение принципа обратной передачи ложности — было по существу неизвестно в неформальной математике раннего XIX столетия.
- Фордер (Н. G. Forder, 1927, стр. VIII). Или «Одной из главных заслуг доказательств является то, что они внушают некоторый скептицизм по отношению к доказанному результату» (Russell, 1903, стр. 360. Он даёт также великолепный пример).
- Хорошо известно, что критика может вызвать подозрение или даже иногда опровергнуть «априорные истины» и, таким образом, превратить доказательства в простые объяснения.
Такое отсутствие критицизма или опровержения может превратить не вполне допустимые догадки в «априорные истины»: это не так хорошо известно, но как раз также очень важно. Два самых ярких примера этого представляют возвышение и падение Евклида и Ньютона. История их падения хорошо известна, но историю их возвышения обычно не вполне понимают.
Геометрия Евклида, по-видимому, была предложена как космологическая теория (см. Popper, 1952, стр. 148). И её «постулаты» и «аксиомы» (или «общие понятия») были предложены как смелые, вызывающие предложения, направленные против Парменида и Зенона, учения которых влекли за собой не только ложность, но даже логическую ложность, непредставимость этих «постулатов». Только позже «постулаты» были приняты как несомненно истинные, и смелые антипарменидовские «аксиомы» (вроде «целое больше части») были сочтены настолько тривиальными, что были опущены в позднейших анализах доказательства и превращены в «скрытые леммы». Этот процесс начался с Аристотеля; он заклеймил Зенона как любящего спорить чудака, и его аргументы как «софистику». Эта история была недавно рассказана с интересными подробностями Арпадом Сабо (1960, стр. 84). Сa6o показал, что в эпоху Евклида слово «аксиома», как и «постулат», обозначало предположение в критическом диалоге (диалектическом), выставленное для того, чтобы проверить следствия, причём партнёр по дискуссии не обязан был принимать его как истину. По иронии истории его значение оказалось перевёрнутым. Вершина авторитета Евклида была достигнута в век просвещения. Клеро побуждал своих товарищей не «затемнять доказательств и раздражать читателей», выставляя очевидные истины: Евклид делал это лишь для того, чтобы убедить «упорствующих софистов» (1741, стр. X и XI).
Далее механика и теория тяготения Ньютона были выставлены как смелая догадка, которая была осмеяна и названа «темной» Лейбницем и была подозрительной даже для самого Ньютона. Но через несколько декад — при отсутствии опровержений — его аксиомы дошли до того, что были признаны несомненно истинными. Подозрения были забыты, критики получили клеймо «эксцентрических», если не «обскурантов»; некоторые из его наиболее сомнительных допущений стали рассматриваться настолько тривиальными, что учебники даже никогда не упоминали их. Дебаты — от Канта до Пуанкаре — шли уже не об истинности ньютоновской теории, но о природе её достоверности. (Этот поворотный пункт в оценке ньютоновской теории был впервые указан Карлом Поппером — см. его книгу, 1963.)
Аналогия между политическими идеологиями и научными теориями идёт гораздо дальше, чем обычно полагают: положительные теории, которые первоначально могли дебатироваться (и, может быть, принимаемы только под давлением), могут превращаться в бесспорные основы знания даже за время одного поколения: критики бывали забыты (и, может быть, даже казнены) до тех пор, пока революция не выдвигала снова их возражений.
- Это правило, по-видимому, впервые было выдвинуто Зейделем (Ph. L. Seidel, 1847, стр. 383).
- «Я имею право выдвинуть пример, удовлетворяющий условиям вашей аргументации, и я сильно подозреваю, что те примеры, которые вы называете странными и искусственными, в действительности будут затрудняющими вас примерами, предосудительными для вашей теоремы» (Дарбу, 1874).
- «Я приведён в ужас множеством неявных лемм. Придётся затратить много труда, чтобы избавиться от них» (Дарбу, 1883).
- См. параграф 4, б и реплику Учителя.
- Пуанкаре (1905, стр. 216).
- Там же, стр. 216. Изменения Критерия «строгости доказательства» производят в математике большие революции. Пифагорейцы считали, что строгие доказательства могут быть только арифметическими. Однако они открыли строгое доказательство, что Ö2 был «иррациональным». Когда этот скандал вышел наружу, то критерий был изменен: арифметическая интуиция была дискредитирована и её место заняла геометрическая интуиция. Это означало большую и сложную реорганизацию математического знания (была введена теория пропорций). В восемнадцатом столетии «вводящие в заблуждение» чертежи испортили репутацию геометрических доказательств и девятнадцатый век увидел снова арифметическую интуицию, воцарившуюся при помощи сложной теории действительных чисел. Сегодня основные споры идут о том, что является или не является строгим в теоретико-множественных и математических доказательствах, как это видно из хорошо известной дискуссии о допустимости мысленных экспериментов Цермело и Гентцена.
- Как уже было указано, наш класс является очень передовым.
- Термин «психологизм» был создан Гуссерлем (1900). Раннюю «критику» психологизма см. у Фреге (Frege, 1893, стр. XVI). Современные интуиционисты (не как Альфа) открыто принимают психологизм: «Математическая теорема выражает чисто эмпирический факт, а именно успех некоторого построения… математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга» (Гейтинг (Heyting, 1956, стр. 8 и 10)]. Как они примиряют психологизм с достоверностью, представляет их хорошо охраняемый секрет.
- Что мы не смогли бы как следует выразить словами совершенное знание, даже если бы обладали им, было общим местом у древних скептиков [см. Секст Эмпирик (ок. 190), I, 87], но было забыто в век просвещения. Это было снова открыто интуиционистами: они приняли кантову философию математики, но указали, что «между совершенством собственно математики и совершенством математического языка нельзя видеть ясной связи» [Броувер (Brouwer), 1952, стр. 140]. «Выражение при помощи сказанного или написанного слова — хотя и необходимо для сообщения — никогда не бывает адекватным. Задача науки заключается не в изучении языков, но в создании идей» (Heyting, 1939, стр. 75).
- Brouwer (1952), стр. 141.
- Английский язык имеет термин «infinite regress», но это будет только частным случаем порочной бесконечности (schlechte unendlichkeit) и не будет здесь применимым. Альфа, очевидно, построил фразу, имея в мыслях «порочный круг».
- Обычно, взяв альтернативную систему длинных определений, математики избегают длинных теорем, так что в теоремах появляются только определённые термины, например, «ординарный многогранник»; это будет более экономичным, так как одно определение сокращает много теорем. Даже и так определения занимают огромное место в «строгих» изложениях, хотя приводящие к ним монстры редко упоминаются. Определение «эйлерова многогранника» (с определениями некоторых определяющих терминов) занимает у Фордера (1927, стр. 67 и 29) около 25 строк; определение «ординарного многогранника» в издании 1962 года. «Encyclopedia Britannica» заполняет 45 строк.
- «Логика заставляет нас отбросить некоторые аргументы, но она не может заставить нас верить любому аргументу» (Лебег, 1928, стр. 328).
- Мур (Е. Н. Moore), 1902, стр. 411.
- «Природа уличает скептиков, рассудок уличает догматиков» [Паскаль, 1654. См. Oeuvres completes (Chevalier). — Paris, 1954, стр. 1207]. [Паскаль, 1654. См. Oeuvres completes (Chevalier). — Paris, 1954, стр. 1207]. Немногие математики признаются, как Бета, что разум слишком слаб для оправдания самого себя. Большая часть их принимает некоторое клеймо догматизма, историзма или спутанного прагматизма и остаётся курьёзно слепой к невозможности поддерживать это, например: «Математическое рассуждение проводится с такой скрупулёзностью, которая делает его бесспорным и убедительным для каждого, кто только его поймёт … Однако строгость математики не абсолютна: она развивается; принципы математики не застыли раз навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров» (А. Д. Александров, 1956, стр. 7). Эта цитата может напомнить нам, что диалектик пытается учитывать изменение, не пользуясь критицизмом; для него истины находятся «в непрерывном развитии», но всегда «полностью бесспорны».
- См. реплику Учителя.
- Обсуждение этого случая см. в главе 3.
- Омега, по-видимому, забывает третью возможность: Гамма может о успехом требовать, что поскольку локальные, но не глобальные, контрапримеры не обнаруживают какого-нибудь нарушения принципа обратной передачи ложности, то нет надобности в каких-нибудь действиях.
- См. параграф 5, г.
- Обсуждение этого второго случая см. после реплики Беты.
- См. там же.
- См. главу 3.
- См. там же.
- Доказательство Жергонна можно найти у Люилье (1813, стр. 179). В оригинале оно, конечно, не заключало никаких фотографических устройств. Оно гласило: «Возьмите многогранник с одной прозрачной гранью; представьте себе, что снаружи к этой грани приближается глаз настолько плотно, что может увидеть внутренние стороны всех других граней»… Жергонн скромно отмечает, что доказательство Коши является более глубоким, поскольку «оно имеет ценное преимущество, что совершенно не предполагает выпуклости» (однако ему не пришло в голову спросить, что же именно оно предполагает). Штейнер позднее снова открыл по существу то же самое доказательство (1826). Его внимание обратили на приоритет Жергонна; тогда он прочёл работу Люилье со списком исключений, но это не помешало ему закончить своё доказательство такой «теоремой»: «Все многогранники являются эйлеровыми». Именно эта работа Штейнера заставила Гесселя — немецкого Люилье — написать свою работу (1832).
- Доказательство Лежандра можно найти в его работе (1794), но там нет теоремы, порождённой доказательством, так как анализ доказательства и образование теорем были в XVIII веке по существу неизвестны. Лежандр сначала определяет многогранники как твёрдые тела, поверхность которых состоит из многоугольных граней (стр. 161). Затем он доказывает, что V — Е + F = 2 вообще (стр. 228). Но здесь имеется устраняющая исключения поправка в примечании курсивом на стр. 164, гласящая, что будут рассматриваться только выпуклые многогранники. Он игнорировал почти выпуклое обрамление. Пуансо первый, комментируя доказательство Лежандра, заметил в своей работе (1809), что формула Эйлера справедлива не только для обыкновенных выпуклых тел, а именно, поверхность которых пересекается прямой линией не более чем в двух точках; она справедлива также для многогранников с входящими углами в предположении, что внутри тела можно найти точку, служащую центром сферы, на которую прямыми линиями, идущими из центра, можно спроектировать грани многогранника так, чтобы их проекции не перекрывали друг друга. Это применимо к бесконечному множеству многогранников с входящими углами. Действительно, при этом положении доказательство Лежандра применимо ко всем таким добавочным многогранникам.
- Жонкьер продолжает, снова заимствуя аргумент у Пуансо (1858): «Призывая Лежандра и подобные высокие авторитеты, только способствуешь широко распространённому предубеждению, которое пленило даже некоторые из наилучших интеллектов, а именно, что область применимости теоремы Эйлера ограничена только выпуклыми многогранниками» (1890а, стр. 111).
- Это из Пуансо (1858, стр. 70).
- Зоммервиль (D. М. У. Sommerville), 1929, стр. 144.
- Этот «большой звездчатый додекаэдр» уже был придуман Кеплером (1619, стр. 58), затем независимо от него Пуансо (1809), который испытывал его на эйлеровость. Рисунок 15 скопирован с книги Кеплера.
- Я не был в состоянии определить, откуда взята эта цитата. (Это — шутливое подражание Галилею. — Прим. перев.).
- См. примечание 111.
- Ответ заключается в знаменитой папповой эвристике Античности, которая применялась только к нахождению «финальных», «окончательных» истин, то есть к теоремам, которые содержали сразу и необходимые и достаточные условия. Для «задач на доказательство» основное правило эвристики было: «Если у вас есть догадка, то выведите из неё следствия. Если вы придёте к следствию, о котором известно, что оно ложно, то догадка была ложной. Если вы придёте к следствию, о котором известно, что оно истинно, то обратите порядок доказательств и, если догадка может быть таким образом выведена из истинных следствий, то она была истинной» (ср. Heath, 1925, 1, стр. 139). Принцип «causa aequat effectu» (причина равна следствию. — Прим. перев.) и поиски теорем с необходимыми и достаточными условиями заключались в этой традиции. Только в семнадцатом веке, когда все усилия применить паппову эвристику к новой науке оказались тщетными, поиски верности получили верх над поисками окончательности.
- Это доказательство принадлежит Пуанкаре [см. его работы (1893) и (1899)].
- Есть много других доказательств догадки Эйлера. Детальный эвристический разбор доказательств Эйлера, Жордана и Пуанкаре см. Lacatos (1961).
- Пуансо, Люилье, Коши, Штейнер, Крелле все думали, что различные доказательства доказывают одну и ту же теорему — «теорему Эйлера». Процитируем характерную фразу из стандартного учебника: «Эта теорема восходит к Эйлеру, первое доказательство дано Лежандром, второе Коши» (Крелле, 1827, II, стр. 671).
Пуансо очень близко подошёл к тому, чтобы заметить эту разницу, когда сказал, что лежандрово доказательство применимо не только к обыкновенным выпуклым многогранникам. (см. примечание 103). Но когда он затем сравнил доказательство Лежандра с эйлеровым (тем, которое основано на обрезании пирамидальных углов многогранника так, что в окончательном результате получается тетраэдр с неизменившейся эйлеровой характеристикой) (1751), то он отдал предпочтение лежандрову на основании «простоты». Эта «простота» стоит здесь в согласии с идей XVIII века о строгости: ясность в мысленном эксперименте. Ему не пришло в голову сравнить оба доказательства по содержанию; тогда эйлерово доказательство оказалось бы более высоким. (По существу в доказательстве Эйлера нет никаких неправильностей. Лежандр применил субъективный стандарт современной ему строгости и пренебрёг объективным стандартом содержания.)
Люилье в скрытой критике этого места (он не упоминает Пуансо) указывает, что простота Лежандра является только «кажущейся», потому что она предполагает довольно большое предварительное знание сферической тригонометрии (1813, стр. 171). Но Люилье тоже верит, что Лежандр «доказал ту же теорему», что и Эйлер (там же, стр. 170).
Штейнер присоединяется к нему в оценке доказательства Лежандра и в мнении, что все доказательства доказывают ту же теорему (1826). Единственная разница заключается в том, что, по Штейнеру, все различные доказательства доказывают, что «все многогранники будут эйлеровыми», по Люилье же, все различные доказательства доказывают, что «все многогранники, не имеющие туннелей, пустот и кольцевидных граней, будут эйлеровыми».
Коши написал свою работу (1811) о многогранниках, когда ему ещё было чуть больше двадцати лет, задолго до его революции строгости, и нельзя упрекать его, что он во введении ко второй части своего трактата повторяет принадлежащее Пуансо сравнение доказательств Эйлера и Лежандра. Он — как и большинство его современников — не понял различия в глубине разных доказательств и не мог оценить действительную силу своего собственного доказательства. Он думал, что дал только еще одно доказательство той же самой теоремы, но с готовностью подчёркивал, что просто получил тривиальное обобщение формулы Эйлера для некоторых групп многогранников. Жергонн был первым, кто оценил несравненную глубину доказательства Коши (Люилье, 1813, стр. 179).
- См. реплику Омеги и реплику Мю.
- См. реплику Омеги.
- Эта задача, была отмечена Люилье (1813, стр. 189) и независимо от него Гесселем (1832). В статье Гесселя рисунки обеих картинных рам помещены рядом. См. также подстрочное примечание 134.
- Пойа называет это «парадоксом изобретателя» (1945, стр. 110).
- См. примечание 123. Эта таблица заимствована у Пойа (1954, т. I, стр. 36).
- См. главу 1.
- Это важное уточнение для примечания 17.
- Пойа (1957), т. I, стр. 5 и 7.
- См. примечание 118.
- Эти испытания и ошибки были прекрасно реконструированы Пойа. Первая догадка состоит в том, что F возрастает вместе с V. Когда это было отвергнуто, то последовали ещё две догадки: Е возрастает вместе с F; E возрастает вместе с V. Четвёртой была выигрышная догадка: Р + V возрастает вместе с Е (1954, т. I, стр. 37).
- С другой стороны, те, которые вследствие обычного дедуктивного представления математики начинают думать, что путь открытия идёт от аксиом и (или) определений к доказательствам и теоремам, могут полностью забыть о возможности и важности наивного угадывания. Фактически в математической эвристике наибольшую опасность представляет дедуктивизм, тогда как в научной эвристике, наоборот, индуктивизм.
- Возрождением математической эвристики в этом веке мы обязаны Пойа. Его подчёркивание сходств между математической и научной эвристикой является одной из важных черт его замечательного труда. То, что можно рассматривать как единственную его слабость, — связано с его силой: он никогда не ставил под вопрос индуктивность науки и вследствие своего правильного представления глубоких аналогий между научной и математической эвристикой пришёл к мысли, что математика тоже является индуктивной. То же самое случилось ранее с Пуанкаре (см. его книгу, 1902, Введение) и также с Фреше (1938).
- См. реплику Альфы.
- Согласно эвристике Паппа, математическое открытие начинается с догадки, за которой следует анализ. Предполагается, что если анализ не обнаружит ложность догадки, то затем следует синтез (см. примечания 17 и 110). Но в то время как наше понимание анализа-синтеза улучшает предположение, паппово понимание только доказывает или отвергает его.
- См. Robinson (1936), стр. 471.
- См. реплику Учителя.
- Это было сделано Рашигом (Raschig, 1891).
- Норре (1879), стр. 102.
- Это тоже часть папповой эвристики. Анализ, начинающийся с догадки, он называет «теоретическим», а анализ, начинающийся без догадки, — «проблемным» (Heath, 1925, т. I, стр. 138). Первый относится к проблемам для доказательства, а второй — к проблемам для решения (или к проблемам для нахождения). См. также Polya (1945), стр. 136 («Папп») и 204 («Работая назад»).
- Этот «порядок» был восстановлен Люилье приблизительно с той же формулой (1813, стр. 189) и Гессолем с нескладной, придуманной ad hoc формулой относительно различных способов соединения друг с другом эйлеровых многогранников (1832, стр. 20). Ср. примечание 116.
- Исторически Люилье в своей книге (1813) при помощи наивной догадки сумел обобщить формулу Эйлера и пришёл к такой формуле: V — Е + F = 2 [(с - Т + 1) + (р1, + р2 + …)], где с — число полостей, Т — туннелей и pi — число внутренних многоугольников на каждой грани. Он также доказал её для «внутренних многоугольников», но туннели как будто доставили ему затруднения. Он построил эту формулу, пытаясь разобраться в своих трёх видах «исключений», но его список исключений неполон (см. примечание 37). Более того, эта неполнота не была единственной причиной ложности его наивной догадки; он не заметил, что могут существовать многосвязные полости, что не всегда можно однозначно определить число туннелей в многограннике с разветвляющимися туннелями, и что основное значение имеет не «число внутренних многоугольников», но число кольцеобразных граней (его формула отказывает в случае двух прилегающих внутренних многоугольников с общим ребром). Критику индуктивного обобщения Люилье можно найти у Листинга (1861, стр. 99). См. также примечание 159.
- Очень небольшое число математиков девятнадцатого столетия были смущены таким тривиальным увеличением содержания и действительно не знали, что с ним делать. Некоторые — вроде Мёбиуса — пользовались определениями, устраняющими монстры (см. стр. 24); другие — вроде Гоппе — исправлением монстров. Книга Гоппе (1879) в особенности показательна. С одной стороны, он — как большое число его современников — очень хотел получить совершенно законченную «обобщённую формулу Эйлера», которая покрывала бы все. С другой стороны, он чувствовал отвращение к тривиальным сложностям. Поэтому, говоря, что его формула «полная, всеобъемлющая», он смущенно добавлял, что «особые случаи могут сделать сомнительным перечисление (составных элементов)» (стр. 103). Иными словами, если какой-нибудь неуклюжий многогранник не подходит под его формулу, то его элементы были неправильно сосчитаны и это уродство должно быть исправлено при помощи правильного зрения; например, общие вершины и ребра тетраэдров-близнецов должны быть увидены и сосчитаны дважды и каждый близнец должен считаться за отдельный тетраэдр (там же). Дальнейшие примеры см. примечание 166.
- См. параграф 5, г.
- Ср. реплику Гаммы и сл.
- Древние философы не колебались выводить догадку из очень тривиального её следствия (см., например, наше синтетическое доказательство, ведущее от треугольника к многограннику). Платон считал, что «единственная аксиома может быть вполне достаточной для рождения целой системы». Вообще он думал, что одна гипотеза является плодовитой сама по себе, пренебрегая в своей методологии другими предпосылками, с которыми он соединял её (Робинсон, 1953, стр. 168). Это характерно для древней неформальной логики, то есть для логики доказательства, или мысленного эксперимента, или построения; мы считаем её как бы энтимематической (уже содержащейся в мысли) вследствие задней мысли; только позже увеличение содержания стало знаком не силы, но слабости индукции. Древнюю неформальную логику энергично защищали Декарт, Кант, Пуанкаре; все они пренебрегали аристотелевской формальной логикой, отбрасывая её как бесплодную и не относящуюся к делу, и в то же самое время восхваляя непогрешимость плодовитой неформальной логики.
- Пуанкаре (1902), стр. 33.
- Поиски скрытых лемм, зародившиеся только в математическом критицизме середины XIX века, были тесно связаны с процессом, который позднее доказательства заменил анализом доказательств и законы мысли — законами языка. Наиболее важным достижением в теории логики обыкновенно предшествовало развитие математического критицизма. К несчастью, даже лучшие историки логики стремятся обращать исключительное внимание на изменения в логической теории, не замечая их корней в изменениях логической практики. См. также примечание 179.
- См. Правило 5 Дзеты.
- См. Правило 4 Омеги.
- См. правила Ламбды.
- Альфа, конечно, кажется соскользнувшим в ложность дедуктивной эвристики. Ср. примечание 125.
- Декарт (1628), Правило III.
- См. реплику Альфы.
- См. Люилье (1813а), с. 233.
- Рис. 6 в книге Эйлера (1750) изображает первый многогранник с вогнутостями, появившийся в геометрических текстах. Лежандр говорит о выпуклых и вогнутых многогранниках в своей книге (1794). Но до Люилье никто не упоминал вогнутых многогранников, которые не были простыми. Однако можно добавить одно интересное замечание. Первым классом многогранников, который когда-нибудь подвергался исследованию, были пять обыкновенных правильных многогранников и квазиправильные многогранники вроде призм и пирамид (ср. Евклид). После Возрождения этот класс был распространён в двух направлениях. Одно из них указано в тексте: включены все выпуклые и некоторые слегка заострённые многогранники. Другое направление принадлежало Кеплеру: он расширил класс правильных многогранников изобретением правильных звездчатых многогранников. Но кеплерово нововведение было забыто и возобновлено лишь Пуансо (см. примечание 26). Звездчатые многогранники Эйлеру наверняка не снились. Коши знал их, но его ум был как-то разделён на отдельные помещения: когда у него появлялась интересная идея о звездчатых многогранниках, то он публиковал её; однако, представляя контрапримеры для своей общей теоремы о многогранниках, он игнорировал звездчатые многогранники. Молодой Пуансо (1809) поступал не так, но позже он изменил своё мнение (см. примечание 49). Таким образом, утверждение Пи, хотя и правильное с эвристической точки зрения (то есть верное в рациональной истории математики), исторически является ошибочным. (Это не должно нас беспокоить: действительная история часто бывает карикатурой на рациональные её реконструкции).
- Интересный пример определения, включающего монстры, представляет данное Пуансо вторичное определение выпуклости, включающее звездчатые многогранники в респектабельный класс выпуклых правильных тел (1809).
- Фактически так и было в случае Коши. Непохоже, чтобы Коши, уже открыв свой революционный метод устранения исключений (см. замечание автора), не стал бы искать и не нашёл бы некоторых исключений. Не он, вероятно, подошёл к проблеме исключений только позже, когда решил расчистить хаос в анализе. (По-видимому, Люилье первый заметил и учёл тот факт, что такой «хаос» не ограничивается анализом). Историки, в частности Steinitz в работе (1831), говорят, что Коши, заметив неуниверсальную годность его теоремы, установил её только для выпуклых многогранников. Действительно, в своём доказательстве он пользуется выражением «выпуклая поверхность многогранника» (1811, стр. 81), а в своей работе (1812) он возобновляет теорему Эйлера под общим заглавием «теоремы о телесных углах и выпуклых многогранниках». Но, вероятно, для противодействия этому заглавию он особенно подчёркивает универсальную приложимость теоремы Эйлера ко всяким многогранникам (теорема XI, стр. 94), тогда как три остальных теоремы (теорема XIII и два её следствия), он формулирует специально для выпуклых многогранников (стр. 96 и 98). Почему у Коши небрежна терминология? Понятие Коши о многограннике почти совпадало с понятием выпуклого многогранника. Но оно не совпадало в точности: Коши знал вогнутые многогранники, которые можно получить, слегка вдавливая во внутрь грань выпуклого многогранника, но он не обсуждал казавшихся неуместными дальнейших подтверждений — не опровержений — его теоремы. (Подтверждения нельзя равнять с контрапримерами, или даже с «исключениями», в качестве катализаторов роста понятий). Такова причина случайного употребления Коши слова «выпуклый»; скорее это было неудачей, невозможностью понять, что вогнутые многогранники могут дать контрапримеры, чем сознательной попыткой исключить эти контрапримеры. В том же самом параграфе он аргументирует, что теорема Эйлера представляет «непосредственное следствие» леммы, что V — Е + F — 1 для плоской многоугольной сети, и утверждает, что «для приложимости теоремы V — Е + F = 1 не имеет значения, лежат ли многоугольники в одной, или в различных плоскостях, так как теорема интересуется только числом многоугольников и числом их составных элементов» (стр. 81). Этот аргумент вполне правилен в узкой концептуальной системе Коши, но будет неправильным в более широкой, в которой «многогранником» можно назвать, скажем, картинную раму. Этот аргумент часто повторялся в первой половине девятнадцатого столетия [См. Оливье (Olivier), 1826, стр. 230, или Грунерт (Grunert), 1827, стр. 367, или Балцер (Н. Baltzer), 1862, т. II, стр. 207. Он был раскритикован Беккером (1869), стр. 68]. Часто, как только расширение понятия опровергает предложение, то опровергнутое предложение кажется такой очевидной ошибкой, что нельзя даже представить, как могли се сделать великие математики. Эта важная характерная черта опровержения, связанного с расширением понятий, объясняет, почему уважаемые историки, не понимая, что понятия растут, создают для себя лабиринты проблем. После того, как они спасли Коши указанием, что он, вероятно, не мог упустить из виду «многогранников, которые не были простыми», и поэтому он «категорически» (!) ограничил теорему областью выпуклых многогранников, уважаемые историки должны теперь объяснить, почему граничная линия Коши «без всякой необходимости» была так узка. Почему он игнорировал невыпуклые эйлеровы многогранники? Объяснение Штейница таково: корректная формулировка теоремы Эйлера должна быть сделана в терминах связности поверхностей. Так как во времена Коши это понятие ещё не было «ясно схвачено», то простейшим выходом было принять выпуклость (стр. 20). Так Штейниц объясняет ошибку, которой Коши никогда не делал. Другие историки идут путём, отличным от этого. Они говорят, что до момента достижения правильной концептуальной системы (то есть той, которую они знают) была только «средневековая тьма» с «редкими, если таковые и были, здравыми» результатами. Таким моментом в теории многогранников было, по Лебегу (1923, стр. 60), доказательство Жордана (Jordan, 1866) или, по Беллу (Bell, 1945, стр. 460), доказательство Пуанкаре (1895).
- См. реплику Омеги в параграфе 6, а.
- См. примечание 55.
- Дарбу (1874) близко подошёл к этой идее. Позже она была ясно сформулирована Пуанкаре: «Математика есть искусство давать то же имя различным вещам… Если выбрать хороший язык, то можно удивиться, узнав, что доказательства, подготовленные для известного предмета, непосредственно применимы ко многим новым предметам без дальнейших изменений — можно даже удержать названия» (1908, стр. 375). Фреше называет это «необычно полезным принципом обобщения» и формулирует его так: «Если ряд свойств математической единицы, использованный в доказательстве предложения об этой единице, не определяет эту единицу, то предложение может быть распространено так, что может быть применимо к более общей единице» (1928, стр. 18). Он указывает на то, что такие обобщения не являются тривиальными и «могут требовать очень больших усилий» (там же).
- Коши не заметил этого. От данного Учителем его доказательство отличалось одной важной деталью: Коши в своей работе (1812) не воображал, что многогранники сделаны из резины. Новизна идеи его доказательства заключалась в том, что он представлял многогранник как поверхность, а не как твёрдое тело вместе с Евклидом, Эйлером и Лежандром. Но эту поверхность он представлял твёрдой. Когда он вынимал одну грань и оставшуюся пространственную сеть многоугольников накладывал на плоскую многоугольную сеть, то он не представлял это наложение как растягивание, которое могло бы изогнуть грани или ребра. Первым математиком, заметившим, что доказательство Коши может быть выполнено на многогранниках с изогнутыми гранями, был Крелле (1827, стр. 672), но он тщательно придерживался прямых ребер. Для Кэйли, однако, казалось возможным узнать «с первого взгляда», что «теория не изменится существенно, если допустить, что ребра могут быть кривыми линиями» (1861, стр. 425). То же самое замечание было независимо сделано в Германии Листингом (1861, стр. 99) и во Франции Жорданом (1866, стр. 39).
- Эта теория образования понятия соединяет образование понятий с доказательствами и опровержениями. Пойа соединяет её с наблюдениями. «Когда физики начали говорить об «электричестве», или врачи о «заразе», то эти термины были смутными, неясными, спутанными. Термины, употребляемые современными учёными, вроде «электрический заряд», «электрический ток», «бактериальные» или «вирусные» заражения, несравненно яснее и определённее. Однако между обеими этими терминологиями находится громадная масса наблюдений, множество остроумных опытов и также несколько больших открытий. Индукция изменила терминологию, выяснила понятия. Этот аспект процесса, индуктивное разъяснение понятий мы можем пояснить также и математическими примерами» (1954, т. I, стр. 55). Но даже эта ошибочная индуктивистская теория образования понятий предпочтительнее попыток сделать образование понятий автономным, сделать «выяснение» или «объяснение» понятий предисловием к любой научной дискуссии.
- См. параграф 6, в.
- Гоббс [Hobbes (1654). Animadversions upon the Bishop’s Reply, № XXI].
- См. примечание 111.
- Представляет интерес проследить постепенные изменения от достаточно наивных классификаций многогранников к высокотеоретическим. Первая наивная классификация, покрывающая не только простые многогранники, идёт от Люилье: классификация по числу полостей, туннелей и внутренних многоугольников (см. примечание 134).
- Полости. Первое доказательство Эйлера, а также собственное Люилье (1813, стр. 177), основывалось на разложении тела при помощи обрезания одного за другим углов, или разложения на пирамиды с одной или многими точками внутри. Однако идея доказательства Коши (Люилье об этом не знал) основывалась на разложении поверхности многогранников. Когда теория многогранных поверхностей полностью вытеснила теорию многогранных тел, то полости стали неинтересными: один «многогранник с полостями» превращают в целый класс многогранников. Таким образом, наше старое устраняющее монстры Определение 2 стало определением, рождённым доказательством, или теоретическим, и таксономическое понятие «полости» исчезло из основного русла развития.
- Туннели. Уже Листинг указал на неудовлетворительность этого понятия (см. примечание 134). Замена пришла не от какого-нибудь «объяснения» неясного понятия о туннеле, как был бы склонен ожидать последователь Карнапа, но от попытки доказать и опровергнуть наивную догадку Люилье об эйлеровой характеристике многогранников с туннелями. В течение этого процесса понятие о многограннике с туннелями исчезло и его место заняла рождённая доказательством «многосвязность» (то, что мы назвали «n-сфероидальность»). В некоторых статьях мы находим, что наивный термин удерживается для обозначения нового рождённого доказательством понятия: Гоппе число «туннелей» определяет числом разрезов, после которых многогранник остаётся односвязным (1879, стр. 102). Для Эрнста Штейница понятие о туннеле является уже настолько укоренившимся в теории, что он неспособен найти «существенную» разницу между наивной классификацией Люилье по числу туннелей и рождённой доказательством классификацией по многосвязности: поэтому критику Листинга классификации Люилье он считает «в высшей степени оправданной» (1931, стр. 22).
- Внутренние многоугольники. Это наивное понятие тоже было скоро заменено сначала кольцеобразными, а затем многосвязными гранями (см. также примечание 134). (Заменено, но не «объяснено», так как «кольцеобразную грань», конечно, нельзя назвать объяснением внутреннего многоугольника). Однако когда теория многогранных поверхностей была вытеснена, с одной стороны, топологической теорией поверхностей, а с другой — теорией графов, то задача о влиянии многосвязных граней на эйлерову характеристику многогранников потеряла всякий интерес. Таким образом, из трёх ключевых понятий первой наивной классификации «осталось» только одно, и то в еле узнаваемой форме — обобщённая формула Эйлера для этого этапа получила вид V — Е + F = 2 - 2n. (Относительно дальнейшего развития см. примечание 166).
- Что касается наивной классификации, то номиналисты близки к истине, считая, что единственной вещью, общей для всех многогранников (или, если воспользоваться любимым выражением Витгенштейна, для всех игр), будет их имя. Но после нескольких столетий доказательств и опровержений по мере развития теории многогранников (или, скажем, теории игр) теоретическая классификация заменяет наивную, баланс меняется в пользу реалистов. Проблема универсалий должна быть пересмотрена ввиду того, что по мере роста знания язык меняется.
- Феликс (Felix) 1957, стр. 10. В соответствии с логическим позитивизмом исключительной задачей философии является построение «формализованных» языков, в которых искусственно замораживаются состояния науки (см. нашу цитату из Карнапа во Введении). Но такие исследования редко становятся ходовыми до того, как быстрый рост науки устраняет старую «систему языка». Наука учит нас не стремиться сохранить любую данную концептуально-лингвистическую систему, иначе она обратится в тюрьму понятий, тогда как исследователи языка заинтересованы в том, чтобы, по крайней мере, замедлить этот процесс с целью оправдать свою лингвистическую терапевтику, то есть показать, что они имеют наиболее важный источник питания для науки, весьма для последней ценный, что они не вырождаются в «хорошо засушенное крючкотворство» (Эйнштейн, 1953). Аналогичную критику логического позитивизма дал Поппер; см. его книгу (1934), стр. 128, примечание 3.
- Пойа делает различие между «простым» и «строгим» испытаниями. «Строгое» испытание может дать «первый намёк на доказательство» (1954, т. I, стр. 40).
- В неформальной логике нет ничего плохого в «факте, таком обыкновенном в математике и всё же столь удивительном для начинающего или для философа, считающего себя передовым, а именно, что общий случай может быть логически эквивалентным частному» [Пойа (1954, т. I, стр. 17)]. Также см. Пуанкаре (1902), стр. 33.
- Кэйли (1861) и Листинг (1861) принимали всерьёз расширение основных понятий теории многогранников. Кэйли определял ребро как «путь от вершины к ней же или к какой-нибудь другой вершине», но допускал вырождение рёбер в лишённые вершин замкнутые кривые, которые он называл «контурами» (стр. 426). У Листинга был один термин для рёбер, имеют ли они две вершины, одну или совсем не имеют — это «линии» (стр. 104). Оба поняли необходимость совершенно новой теории для объяснения «причуд», которые они сами натурализовали своей либеральной системой понятий — Кэйли изобрёл «Theory of Partitions of a Close». Листинг — один из великих пионеров современной топологии, — «Census of Spatial Complexes».
- См. параграф 4, г.
- Очень немногие математики могут отличить тривиальное от нетривиального. Это в особенности неудобно, когда отсутствие понимания нужности соединено с иллюзией о возможности построения совершенно полной формулы, которая исчерпывает все возможные случаи (см. примечание 135). Такие математики могут годами работать над «окончательным» обобщением формулы и кончить её распространением с небольшим числом тривиальных поправок. Выдающийся математик Беккер даёт забавный пример: после многолетней работы он дал формулу V — Е + F = 4 - 2n + q, где n — число разрезов, необходимых для разделения многогранной поверхности на односвязные поверхности, для которых V — Е + F = 1, а q — число диагоналей, которое надо добавить для приведения всех граней к односвязным (1869, стр. 72). Он был очень горд своим достижением, которое — он думал — проливает «совершенно новый свет» и даже «приводит к заключению» «дело, которым до него интересовались люди, вроде Декарта, Эйлера, Коши, Жергонна, Лежандра, Грунерта и фон Штаудта» (стр. 65). Но в его списке недостаёт трёх имен: Люилье, Жордана и Листинга. Когда ему сказали насчёт Люилье, то он опубликовал жалостную заметку, признавая, что Люилье знал всё это более чем пятьдесят лет тому назад. Что касается Жордана, то он не интересовался кольцеобразными гранями, но, как оказалось, имел склонность к открытым многогранникам с границами, так что в его формуле m — число границ — фигурирует в добавлении к n (1866а, стр. 86). Тогда Беккер — в новой статье (1869а) — скомбинировал формулы Люилье и Жордана в V — Е + F = 2 - 2n + q + m (стр. 343). Но он слишком торопился выйти из затруднения и не переварил длинную статью Листинга. И так он печально заключил свою работу (1869а), что «обобщение Листинга всё же обширнее». Между прочим, позднее он пытался распространить свою формулу также и на звездчатые многогранники (1874), см. примечание 49.
- Некоторые могут придерживаться филистерских идей о законе уменьшения результатов от опровержений. Гамма, например, наверняка так не думает. Мы не будем обсуждать односторонние многогранники (Мёбиус, 1865) или n-мерные многогранники (Шлефли, 1852). Они подтвердили бы ожидание Гаммы, что совершенно неожиданные опровержения, расширяющие понятия, всегда могут дать целой теории новый — возможно, революционный — толчок.
- Пойа указывает, что узкое, дешёвое обобщение «в настоящее время гораздо более в моде, чем было раньше. Маленькую идею оно разводит большой терминологией. Автор обычно предпочитает даже эту маленькую идею заимствовать от кого-нибудь другого, воздерживается от добавления каких-нибудь оригинальных наблюдений и избегает решения какой-нибудь задачи, кроме небольшого числа задач, появляющихся от затруднений в его собственной терминологии. Было бы очень легко привести примеры, но я не хочу из людей делать противников» (1954, т. I, стр. 30). Другой из самых выдающихся математиков XX века Нейман также предупреждал против «опасности вырождения», но думал, что это не будет так уж плохо, «если дисциплина будет под влиянием людей с исключительно хорошо развитым вкусом» (1947, стр. 196). Но всё-таки сомневаешься, будет ли «влияние людей с исключительно хорошо развитым вкусом» достаточно для спасения математики в XX веке: «публикуй или погибай».
- См. реплику Альфы.
- См. ответ на реплику Альфы.
- В действительности Альфа не употреблял явно этот термин Поппера.
- См. параграф 4, б.
- См. главу 5.
- См. гл. 5.
- См. Felix (1957), стр. 9.
- Требование Гаммы кристально ясного определения «контрапримера» равносильно требованию кристально ясных, неэластических понятий в метаязыке в качестве условия разумной дискуссии.
- Арно (Arnauld), 1724, стр. XXI.
- Это слегка перефразированная версия определения Больцано логической истины (1837, № 147). Почему Больцано предложил своё определение 1830 годов, представляет вопрос, заставляющий удивляться в особенности потому, что его работа предвосхищает понятие модели, одно из величайших нововведений математической философии XIX века.
- Математический критицизм XIX века расширял всё большее и большее число понятий и переносил смысловой груз большего и большего числа терминов на логическую форму предложений и на значение немногих (пока еще) не расширенных терминов. В 1930-х годах этот процесс, по-видимому, стал затихать, и демаркационная линия между нерасширимыми («логическими») терминами и расширимыми («дескриптивными»), по-видимому, сделалась устойчивой. Список, содержащий небольшое число логических терминов, получил широкое признание, так что общее определение логической истинности сделалось возможным: логическая истинность не была уже правильной только по отношению к некоторому списку составных частей (см. Тарский, 1935). Однако сам Тарский был удивлён этой демаркацией и сомневался, по придётся ли ему в конце концов возвратиться к релятивизированному понятию контрапримера и, следовательно, логической истинности (стр. 420) — вроде Больцано, о котором, кстати, Тарский не знал. Наиболее интересным результатом в этом направлении была работа Поппера (1948), из которой следует, что нельзя отказываться от дальнейших логических констант, не отказываясь также от некоторых основных принципов рациональной дискуссии.
- «Обращение к суду» — выражение Бэртли (Bartley, 1962). Он исследовал задачу, возможна ли рациональная защита критического рационализма главным образом по отношению к религиозному знанию, но характер задачи во многом совершенно таков же и по отношению к «математическому» знанию.
- См. параграф 8, а. Гамма действительно хотел устранить некоторый смысловой груз у «все», так, чтобы больше не применять его только к непустым классам. Скромное расширение понятия «все» устранением «экзистенциального значения» из его смысла и поэтому превращение пустого множества из монстра в обыкновенное буржуазное множество было важным событием, связанным не только с булевским теоретико-множественным переистолкованием аристотелевой логики, но также и с появлением понятия о пустом удовлетворении от математической дискуссии.
- Понятия критицизма, контрапримера, следствия, истины и доказательства неразделимы; когда они меняются, то первичное изменение происходит в понятии критицизма, за которым следуют изменения остальных.
|