Гуманитарные технологии Аналитический портал • ISSN 2310-1792

Имре Лакатос. Доказательства и опровержения. Глава 8. Образование понятий

а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения

Пи. Я хотел бы сначала вернуться назад в период до Дзеты или даже до Омеги, к трём основным методам формирования теории: устранению монстров, устранению исключений и методу доказательств и опровержений. Оба они начинали с одной и той же наивной догадки, но кончили различными теоремами и различными теоретическими терминами. Альфа уже очертил некоторые аспекты этих различий 146, но его обзор недостаточен — особенно в случае устранения монстров и метода доказательств и опровержений. Альфа думал, что устраняющая монстры теорема «за тождеством лингвистического выражения скрывает существенное улучшение» наивной догадки: он думал, что Дельта класс «наивных» многогранников постепенно сжимал в класс, очищенный от неэйлеровых монстров.

Гамма. А что было дурного в обзоре Альфы?

Пи. То, что не устранители монстров сжимают понятия, это опровергатели расширяют их.

Дельта. Слушайте, слушайте!

Пи. Вернёмся назад ко времени первых исследователей нашего вопроса. Они были зачарованы прекрасной симметрией правильных многогранников; они думали, что пять правильных тел содержат тайну космоса 147.

В то время была выставлена догадка Декарта — Эйлера, и понятие многогранника включало всякого сорта выпуклые многогранники и даже некоторые с вогнутостями. Но тогда это понятие не включало многогранников, которые не были простыми, или многогранников с кольцеобразными гранями. Для всех многогранников, которые тогда имелись в виду, догадка в её тогдашнем состоянии была правильна и доказательство не имело погрешностей 148.

Затем выступили опровергатели. В своей критической ревности они расширяли понятие многогранника, чтобы покрыть предметы, которые были чуждыми предложенному истолкованию. В предположенном истолковании догадка была верной, она оказалась неправильной только в непредполагавшемся истолковании, внесённом контрабандой опровергателями. Их «опровержение» не обнаружило ни неверности в первоначальной догадке, ни ошибки в первоначальном доказательстве; оно обнаружило только ложность новой догадки, которую никто не выставлял и о которой никто ещё раньше не думал.

Бедный Дельта! Он храбро защищал первоначальное толкование многогранника. Он противодействовал каждому контрапримеру новым ограничением для спасения первоначального понятия…

Гамма. Но разве не Дельта изменял каждый раз своей позиции? Когда мы выставляли новый контрапример, он менял своё определение на более длинное, которое обнаруживало ещё одно из его скрытых «ограничений!»

Пи. Какая чудовищная переоценка устранения монстров! Он только казался изменяющим свою позицию. Вы несправедливо обвиняли его в пользовании потайными терминологическими эпициклами в защиту упорной идеи. Его несчастием было это пышное Определение 1: «Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из многоугольных граней», за которое опровергатели сразу же и ухватились. Но Лежандр предполагал покрыть им только свои наивные многогранники; что оно покрывало гораздо большее число, этого предложивший и не понял и не намеревался понять. Математическая публика была готова проглотить чудовищное содержание, которое медленно выплывало из этого правдоподобного, невинного по виду определения. Вот почему Дельте приходилось всё время лепетать: «Я думал»… и продолжать выявление своих бесконечных «молчаливых» ограничений; всё это потому, что наивное понятие никогда не было закреплено, и простое, но чудовищное, непредполагавшееся определение вытеснило его.

Но вообразим другую ситуацию, когда определение правильно фиксировало предположенное толкование «многогранника». Тогда опровергателям пришлось бы выдумывать все более длинные определения, включающие монстры, скажем, для «комплексных многогранников»: «Комплексным многогранником называется агрегат (реальных) многогранников, таких, что каждая пара их спаяна конгруэнтными гранями». «Грани комплексных многогранников могут быть комплексными многоугольниками, которые являются агрегатами (реальных) многоугольников, таких, что каждая пара их спаяна конгруэнтными ребрами». Такой комплексный многогранник будет соответствовать рождённому опровержением понятию многогранника у Альфы и Гаммы — первое определение допускало также многогранники не являвшиеся простыми, а второе — грани, которые не были односвязными. Таким образом, изобретение новых определений не будет необходимым делом устранителей монстров или охранителей понятий — им могут также заниматься включатели монстров или распространители понятий 149.

Сигма. Понятия и определения — то есть предположенные понятия и непредполагавшиеся определения — могут тогда устраивать хитрые штуки одно другому. Я никогда не думал, что образование понятий может тянуться вслед за бессознательно широким определением!

Пи. Да, может. Устранители монстров только сохраняют первоначальное определение, тогда как расширители понятий увеличивают его; любопытная вещь заключается в том, что расширение понятий идёт скрыто; никто этого не сознает и так как «координатная система» всякого человека расширяется по мере того, как увеличивается объём понятий, то он становится жертвой эвристического обмана зрения, что устранение монстров сужает понятия, тогда как в действительности оно сохраняет их неизменными.

Дельта. Тогда кто же был интеллектуально нечестным? Кто сделал тайные изменения в своей позиции?

Гамма. Я допускаю, что мы были неправы, обвиняя Дельту за скрытые сжатия его понятия о многограннике; все шесть его определений означали то же самое доброе старое понятие о многограннике, которое он унаследовал от своих предков. Он определял одно и то же бедное понятие в возрастающем богатстве теоретических форм выражения или языков; устранение монстров не образует понятий, но только переводит определения на другой язык. Устраняющая монстры теорема не представляет улучшения наивной догадки.

Дельта. Вы считаете, что все мои определения были логически эквивалентными?

Гамма. Это зависит от вашей логической теории — по моей они, конечно, не были такими.

Дельта. Вы должны сознаться, что такой ответ не очень помогает. Но скажите мне, опровергали ли вы наивную догадку? Вы опровергали её, только извращая тайком её первоначальное толкование!

Гамма. Ну, мы опровергли её более интересным толкованием, заставляющим работать воображение, как вы и не грезили. Это-то и составляет разницу между опровержениями, которые только обнаруживают глупую ошибку, и опровержениями, являющимися большими событиями в росте знания. Если вследствие неумения считать вы нашли бы, что «для всех многогранников V — E + F = 1» и я исправил бы вас, то я не назвал бы это «опровержением».

Бета. Гамма прав. После откровения Пи мы могли бы колебаться называть наши контрапримеры логическими контрапримерами, так как они всё же не являются несовместными с догадкой в её первоначально предполагавшемся толковании: однако они определённо будут эвристическими контрапримерами, так как побуждают рост знания. Если бы нам пришлось принять узкую логику Дельты, то знание не возрастало бы. Предположим, что кто-нибудь с узкой системой понятий познакомится с данным Коши доказательством эйлеровой теоремы. Он найдёт, что все этапы этого мысленного эксперимента легко могут быть выполнены на любом многограннике. Он примет как очевидный, не вызывающий сомнения «факт», что все многогранники являются простыми и что все грани односвязны. Ему никогда не придёт в голову превратить свои «очевидные» леммы в условия для некоторой исправленной догадки и таким образом построить теорему, — потому что отсутствует стимул контрапримеров, показывающих, что некоторые «тривиально истинные» леммы неверны. Таким образом, он будет думать, что «доказательство» без всякого сомнения устанавливает истинность наивной догадки, что её правильность вне всяких сомнений. Но его «уверенность» совсем не будет признаком успеха, она только симптом отсутствия воображения, концептуальной бедности. Она создаёт уютную удовлетворённость и препятствует росту знания 150.

б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной

Пи. Давайте вернёмся к рождённой доказательством теореме «Все простые многогранники с односвязными гранями будут эйлеровыми». Эта формулировка может ввести в заблуждение. Нужно так: «Все простые объекты с односвязными гранями будут эйлеровыми».

Гамма. Почему?

Пи. Первая формулировка заставляет думать, что класс простых многогранников, встречающихся в этой теореме, является подклассом класса «многогранников» наивной догадки.

Сигма. Конечно, класс простых многогранников будет подклассом многогранников. Понятие «простого многогранника» сужает первоначальный широкий класс многогранников, ограничивая их теми, для которых выполняется первая лемма нашего доказательства. Понятие «простого многогранника с односвязными гранями» указывает на дальнейшее сужение первоначального класса…

Пи. Нет! Первоначальный класс многогранников содержал только те многогранники, которые были простыми и грани которых были односвязными. Омега ошибался, когда говорил, что включение лемм уменьшает содержание 151.

Омега. Но разве каждое включение лемм не исключает контрапример?

Пи. Конечно, исключает; но контрапример был произведён расширением понятия.

Омега. Значит включение леммы сохраняет содержание, как и устранение монстров?

Пи. Нет. Включение леммы увеличивает содержание; устранение же монстров нет.

Омега. Что? Вы действительно хотите убедить меня, что включение леммы не только не уменьшает содержания, но даже, что оно увеличивает его? Что вместо сужения понятий оно их расширяет?

Пи. Совершенно верно. Послушайте. Был ли элементом первоначального класса многогранников глобус, на котором нарисована политическая карта?

Омега. Конечно, нет.

Пи. Но он сделался им после доказательства Коши. Потому что вы без малейшего затруднения можете выполнить на нём доказательство Коши — если только на нём нет кольцеобразных стран или озер 152.

Гамма. Это верно! Если вы надуете многогранник в шар и измените ребра и грани, вы ничуть не помешаете выполнению доказательства — пока искажение не изменит числа вершин, ребер и граней.

Сигма. Я вижу, что вы хотите сказать. Тогда рождённый доказательством «простой многогранник» будет не только сужением, спецификацией, но также и обобщением, распространением наивного «многогранника» 153.

Идея такого обобщения понятия многогранника, чтобы оно могло включить смятые, криволинейные «многогранники» с искривлёнными гранями, вряд ли могла прийти кому-нибудь в голову до доказательства Коши; даже если бы это случилось, то идея была бы отброшена как причуда. Но теперь это является естественным обобщением, так как операции нашего доказательства могут быть для них истолкованы так же хорошо, как и для обыкновенных простых многогранников с прямыми ребрами и плоскими гранями 154.

Пи. Хорошо. Но вам придётся сделать ещё один шаг. Рожденные доказательством понятия не представляют ни «спецификаций», ни «обобщений» наивных понятий: напор доказательств и опровержений на наивные понятия ещё более революционен, чем это — они полностью уничтожают основные наивные понятия и заменяют их понятиями, рождёнными доказательством 155.

Наивный термин «многогранник», даже после его расширения опровергателями, обозначал нечто похожее на кристалл, тело с «плоскими» гранями и прямыми ребрами. Идеи доказательства полностью проглотили и переварили это наивное понятие. В различных теоремах, рождённых доказательством, от этого наивного понятия ничего не осталось. Оно бесследно исчезло. Вместо этого каждое доказательство выявляет его характерные, рождённые доказательством понятия, которые касаются возможностей быть растянутым, надутым, фотографированным, проектированным и тому подобное. Старая задача исчезла, появились новые. После Колумба не следует удивляться, если человек не решает ту задачу, которую он поставил себе для решения.

Сигма. Таким образом «теория твёрдых тел», — первоначальное «наивное» царство эйлеровой догадки, — исчезает, новая переработанная догадка проявляется в проективной геометрии, когда её доказал Жергонн, в аналитической топологии, когда её доказал Коши, в алгебраической топологии, когда её доказал Пуанкаре…

Пи. Совершенно верно. И теперь вы поймёте, почему я не формулирую теоремы, как Альфа или Бета: «Все жергонновы многогранники являются эйлеровыми», «Все многогранники Коши являются эйлеровыми» и так далее, но скорее так: «Все жергонновы объекты являются эйлеровыми», «Все объекты Коши являются эйлеровыми» и так далее 156. Таким образом, я не считаю возможным ссориться не только из-за точности наивных понятий, но также из-за истинности или ложности наивных догадок.

Бета. Но, конечно, мы можем сохранить термин «многогранник» для нашего излюбленного, рождённого доказательством термина, например, «объектов Коши?»

Пи. Если хотите, но помните, что ваш термин уже не обозначает более того, для обозначения чего он был выдуман, что наивное понимание исчезло и что теперь он употребляется…

Бета … для более общего, исправленного понятия!

Тета. Нет! Для совершенно отличного, нового понятия.

Сигма. Я думаю, что ваши взгляды парадоксальны!

Пи. Если под парадоксальным вы понимаете «мнение пока ещё не общепризнанное» 157, и возможно несовместимое с некоторыми из ваших укоренившихся наивных идей, то не беспокойтесь: вам только придётся ваши наивные идеи заменить парадоксальными. Это может быть способом «решения» парадоксов. Но какое частное моё мнение вы имеете в виду?

Сигма. Вы помните, мы нашли, что некоторые звездчатые многогранники являются эйлеровыми, другие же нет. Мы искали доказательства, которое было бы достаточно глубоким для объяснения эйлеровости как обыкновенных, так и звездчатых многогранников…

Эпсилон. У меня оно есть 158.

Сигма. Я знаю. Но для целей аргументации представим, что у нас такого доказательства не имеется, но что в добавление к доказательству Коши для «обыкновенных» эйлеровых многогранников кто-то предлагает соответственное, но совершенно различное, доказательство для эйлеровых звездчатых многогранников. Захотели бы вы тогда, Пи, вследствие этих двух различных доказательств, предложить разбиение на два того, что мы ранее классифицировали как нечто единое? И захотели ли вы также объединить под одним именем две совершенно различные вещи только вследствие того, что кто-то нашёл общее объяснение для некоторых из их свойств?

Пи. Конечно, я так бы и сделал. Ясно, что я не захотел бы назвать кита рыбой, или радио — шумовым ящиком (как могут назвать туземцы), но я не выхожу из себя, когда физик назовёт стекло жидкостью. Действительно наивную классификацию прогресс заменяет теоретической классификацией, то есть классификацией, рождённой теорией (доказательством или, если хотите, объяснением). И догадки, и понятия одинаково должны пройти через чистилище доказательств и опровержений. Наивные догадки и наивные понятия заменяются исправленными догадками (теоремами) и понятиями (рождёнными доказательством или теоретическими), вырастающими из метода доказательств и опровержений. И как теоретические идеи и понятия вытесняют наивные идеи и понятия, так и теоретический язык вытесняет наивный 159.

Омега. В конце концов от наивной, случайной, чисто номинальной классификации мы придём к окончательной, истинной, реальной классификации, к совершенному языку 160.

в) Пересмотр логических и эвристических опровержений

Пи. Позвольте снова обратиться к некоторым выводам, получившимся в связи с дедуктивным угадыванием. Прежде всего возьмём проблему выбора между эвристическими и логическими контрапримерами, вставшую в дискуссии между Альфой и Тетой.

Моё изложение, я думаю, показало, что даже так называемые логические контрапримеры были эвристическими. В первоначальном понимании толкования нет несовместности между а) все многогранники будут эйлеровыми и б) картинная рама неэйлерова.

Если мы будем придерживаться молчаливых семантических правил нашего первоначального языка, то наши контрапримеры не будут контрапримерами. Они превратились в логические контрапримеры только от изменения правил языка при расширении понятий.

Гамма. Вы подразумеваете, что все интересные опровержения будут эвристическими?

Пи. Совершенно верно. Вы не можете поместить отдельно, с одной стороны, опровержения и доказательства, а с другой изменения в концептуальной, таксономической и лингвистической системе. Обычно при появлении «контрапримера» вы можете выбирать: или вы отказываетесь заниматься им, так как на вашем данном языке L 1 он совсем не контрапример, или вы согласитесь изменить ваш язык при помощи расширения понятия и принять этот контрапример на вашем новом языке L 2.

Дзета … и объяснить его на L 3!

Пи. В соответствии с традиционной, не меняющейся рациональностью вы должны сделать первый выбор. Наука учит нас выбирать второй.

Гамма. Иначе мы можем иметь два утверждения, которые совместны на L 1, но мы переключаемся на L 2, где они несовместны. Или мы можем иметь два утверждения, несовместные на L 1, но мы переключаемся на L 2, где они совместны. По мере роста знания меняются языки. «Каждый творческий период является одновременно периодом изменения языка» 161. Рост знания нельзя промоделировать на любом заданном языке.

Пи. Это верно. Лингвистика занимается динамикой языка, а логика только его статикой.

г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом

Гамма. Вы обещали вернуться к вопросу, может или нет дедуктивное угадывание дать непрерывное изображение роста знания.

Пи. Позвольте мне сначала очертить некоторые из многочисленных исторических форм, которые может принять эта эвристическая картина.

Первое основное изображение получается, когда наивное расширение понятий намного обгоняет теорию и производит большой хаос контрапримеров: наши наивные понятия ослабляются, но теоретические понятия не заменяют их. В этом случае дедуктивное угадывание может — постепенно — справиться с залежами контрапримеров. Это будет, если хотите, непрерывное «обобщающее» изображение. Но не забывайте, что оно начинает с опровержений, что его непрерывность представляет постепенное объяснение растущей теории эвристических опровержений её первой версии.

Гамма. Или «непрерывный» рост только указывает, что опровержения далеко впереди!

Пи. Это верно. Но может случиться, что каждое отдельное опровержение, или распространение наивных понятий, непосредственно влечёт за собой распространение теории (и теоретических понятий), которые объясняют контрапример; тогда «непрерывность» уступает место возбуждающему чередованию опровержений, расширяющих понятия, и ещё более мощных теорий, наивных расширений понятий и объяснительных теоретических расширений понятий.

Сигма. Две случайные исторические вариации на ту же самую эвристическую тему!

Пи. Ну, в действительности между ними не так уже много различия. В них обоих сила теории лежит в способности объяснить опровержения в процессе роста. Но есть ещё второе основное изображение дедуктивного угадывания.

Сигма. Ещё другая случайная вариация?

Пи. Да, если хотите. Однако в этой вариации растущая теория не только объясняет, но и производит её опровержения.

Сигма. Что?

Пи. В этом случае теоретический рост обгоняет — и, конечно, исключает — наивное расширение понятий. Например, кто-нибудь начинает, скажем, с теоремы Коши без единого контрапримера на горизонте. Затем испытывают эту теорему, преобразуя многогранник всеми возможными способами: разрезая пополам, отрезая пирамидальные углы, сгибая, растягивая, раздувая… Некоторые из этих идей-испытаний приведут к идеям-доказательствам 162 (если мы получим результат, о котором уже было известно, что он верен, и затем: повернем назад, то есть будем следовать папповой картине анализа-синтеза), но некоторые — вроде «испытания двойным склеиванием» Дзеты — приведут нас не назад к чему-либо уже известному, но к действительной новости, к какому-нибудь эвристическому опровержению испытываемого предложения — не при помощи расширения наивного понятия, а путём расширения теоретической системы. Такое опровержение само себя объясняет…

Йота. Как в диалектике! Испытания превращаются в доказательства, контрапримеры становятся примерами по самому методу их построения…

Пи. Почему диалектика? Испытания одного предложения превращаются в доказательство другого более глубокого предложения, контрапримеры первого в примеры второго. Зачем смещение называть диалектикой? Но позвольте вернуться к моей точке зрения: я не думаю, что мою вторую основную картину дедуктивного угадывания можно рассматривать — как хотел бы Альфа — как непрерывный рост знания.

Альфа. Конечно, так можно. Сравните наш метод с идеей Омеги о замене одной идеи доказательства другой, радикально отличной, более глубокой. Оба метода увеличивают содержание, но в то время как в методе Омеги операции доказательства, применимые в узкой области, заменяются операциями, применимыми в более широкой области, или более радикально, все доказательство заменяется другим, применимым в более широкой области, — дедуктивное угадывание расширяет данное доказательство добавлением операций, расширяющих его приложимость. Разве это не непрерывность?

Сигма. Это верно! Из данной теоремы мы выводим цепь ещё более широких теорем! Из частного случая всё более и более общие случаи! Обобщение путём дедукции 163!

Пи. Но насытившись контрапримерами, вы когда-то признали, что любое увеличение содержания, любое более глубокое доказательство впереди себя имеет или порождает эвристические опровержения предшествующих более бедных теорем…

Альфа. Тета распространял понятие «контрапример», чтобы покрыть эвристические контрапримеры. Вы теперь распространяете его, чтобы покрыть эвристические контрапримеры, которые никогда реально не существуют. Вы считаете, что ваша «вторая картина» полна контрапримерами и основана на распространении понятия контрапримера на контрапримеры с нулевой продолжительностью жизни, открытие которых совпадает с их объяснением! Но почему всякая интеллектуальная активность, всякая борьба за увеличение содержания в объединённой теоретической системе должна быть «критической?» Ваша догматическая «критическая позиция» затемняет исход!

Учитель. Исход спора между вами и Пи безусловно темен, потому что ваш «непрерывный рост» и «критический рост» Пи вполне совместимы. Я более интересуюсь ограничениями, если такие имеются, дедуктивного угадывании или «непрерывного критицизма».

д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения

Пи. Я думаю, что рано или поздно «непрерывный» рост обязательно зайдёт в тупик, достигнет точки насыщения теории.

Гамма. Но, конечно, я всегда могу расширить некоторое понятие!

Пи. Конечно. Наивное расширение понятий может продолжаться, но теоретическое расширение имеет пределы. Опровержения при помощи наивного расширения понятий — это только поводы, побуждающие идти вперёд при помощи теоретического расширения понятий. Имеются два сорта опровержений. На первый сорт мы наталкиваемся вследствие совпадения, или счастья, или произвольного расширения какого-нибудь понятия. Они вроде чудес, их «аномальное» поведение необъяснимо, мы принимаем их как контрапримеры bona fide (добросовестно (лат).) только потому, что привыкли принимать расширяющий понятие критицизм. Я буду называть их наивными контрапримерами или причудами. Далее существуют теоретические контрапримеры: они или производятся первоначально от расширения доказательств, или в других случаях являются причудами, которые получаются от расширенных доказательств, объясняются ими и поэтому повышаются до статуса теоретических контрапримеров. На причуды надо смотреть с большим подозрением: они могут быть не подлинными контрапримерами, а примерами из совершенно другой теории, если не простыми ошибками.

Сигма. Но что мы должны делать, когда застрянем? Когда не сможем превратить наши наивные контрапримеры в теоретические, расширяя наше первоначальное доказательство?

Пи. Мы можем снова и снова пробовать, не содержит ли наша теория какой-нибудь скрытой способности роста. Иногда, однако, могут иметься хорошие причины бросить дело. Например, как правильно указал Тета, если наше дедуктивное угадывание начинает с вершины, то мы, конечно, не можем ожидать, что оно когда-нибудь может объяснить нам лишённый вершин цилиндр.

Альфа. Значит, всё-таки цилиндр был не монстром, а причудой!

Тета. Но с причудами нужно быть осторожным! Они являются действительными опровержениями: их нельзя подогнать под образец непрерывных «обобщений» и они могут действительно заставить нас революционизировать нашу теоретическую систему 164

Омега. Хорошо! Для отдельной цели дедуктивного угадывания можно получить точку относительного насыщения — но тогда кто-нибудь найдёт революционную, новую, более глубокую идею доказательства, которая имеет большую возможность объяснить. В итоге всё-таки попадаешь на окончательное доказательство — без пределов, без точки насыщения, без причуд для его опровержения!

Пи. Что? Единая объединённая теория для объяснения всех явлений вселенной? Никогда! Рано или поздно мы всегда приблизимся к чему-то вроде абсолютной точки насыщения.

Гамма. Мне по настоящему безразлично, придём мы к этому или нет. Если контрапример может быть объяснён дешёвым, тривиальным расширением доказательства, то я стал бы рассматривать его уже как «причуду». Повторяю: я действительно не вижу никакого особого смысла в таком обобщении «многогранника», чтобы оно включило многогранник с полостями: это не один многогранник, но класс многогранников. Я также хотел бы забыть о «многосвязных гранях» — почему бы не провести недостающие диагонали? Что касается обобщения, которое включит тетраэдры-близнецы, то я схватился бы за оружие: это годится лишь, чтобы изготавливать сложные претенциозные формулы для ничего.

Ро. Наконец-то вы снова открыли мой метод исправления монстров 165!

Он освобождает вас от узкого обобщения. Омега не должен был называть содержание «глубиной» — не всякое увеличение содержания будет увеличением глубины: подумайте о формулах (6) и (7) 166.

Альфа. Значит, в моём ряду вы остановились на (5)?

Гамма. Да; (6) и (7) не рост, а вырождение! Вместо того чтобы идти к (6) и (7), я лучше нашёл бы и объяснил какой-нибудь возбуждающий новый контрапример 167.

Альфа. По-видимому, вы всё-таки правы. Но кто же решит, где остановиться? Глубина — дело только вкуса.

Гамма. А почему бы не иметь математических критиков наподобие литературных для развития математического вкуса общественной критикой? Мы даже могли бы задержать волну претенциозных тривиальностей в математической литературе 168.

Сигма. Если мы остановимся на (5) и превратим теорию многогранников в теорию триангулированных сфер с ручками, то как вы сможете в случае надобности справиться с тривиальными аномалиями, вроде объяснённых в (6) и (7)?

Мю. Детская игра!

Тета. Правильно. Тогда мы остановимся на минуту на (5). Но можем ли мы остановиться? Расширение понятий может опровергнуть (5)! Мы можем игнорировать расширение понятия, если оно даёт контрапример, обнаруживающий бедность содержания нашей теоремы. Но если расширение даёт контрапример, который ясно показывает её ложность, то как тогда? Мы можем отказаться от применения наших увеличивающих содержание Правила 4 или Правила 5 для объяснения причуды, но нам придётся применить наше сохраняющее содержание Правило 2 для устранения опровержения при помощи причуды.

Гамма. Вот это так! Мы можем отбросить «дешёвые» обобщения, но вряд ли можем отбрасывать «дешёвые» опровержения.

Сигма. Почему бы не построить устраняющее монстры определение «многогранника», добавив новое условие для каждой причуды?

Тета. В обоих случаях снова вернётся наш старый кошмар, порочная бесконечность.

Альфа. Пока вы увеличиваете содержание, вы развиваете идеи, делаете математику; после этого вы выясняете понятия, вы делаете лингвистику. Почему не остановиться совсем, когда перестаёшь увеличивать содержание? Зачем попадаться в ловушку порочных бесконечностей?

Мю. Не надо опять сталкивать математику с лингвистикой! Наука никогда не выигрывает от таких диспутов.

Гамма. Слово «никогда» скоро обратится в «скоро». Я целиком за возобновление нашей старой дискуссии.

Мю. Но мы уже кончили тупиком. Или кто-нибудь может сказать нам что-нибудь новое?

Каппа. Я думаю, что могу.

Приме­чания: Список примечаний представлен на отдельной странице, в конце издания.
Содержание
Новые произведения
Популярные произведения