Альфа. У меня есть контрапример, который опровергнет вашу первую лемму; кроме того, он будет контрапримером и для основного положения; это значит, что он вполне может быть и глобальным контрапримером.
Учитель. Вот как! Интересно. Посмотрим.
Рисунок 5
Альфа. Вообразите твёрдое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, то есть парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его (рис. 5). Этот полый куб делает неверной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у внутреннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для каждого куба V — Е + F = 2, так что для полого куба F — Е + F = 4.
Учитель. Очень хорошо. Назовём его контрапримером номер 1 20.
Ну и что же?
а) Отбрасывание догадки. Метод сдачи
Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один контрапример отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и её доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нём и попробуйте найти радикально новый подход.
Учитель.
Согласен с вами, что контрапример Альфы — серьёзная критика этого предположения.
Но нельзя сказать, что доказательство «полностью взорвано». Если в настоящее время вы согласитесь с моим прежним предложением — употреблять слово «доказательство» в смысле «мысленного эксперимента, приводящего к разложению первоначального предположения на ряд вспомогательных предположений», и не пользоваться им в смысле «гарантии некоторой истины», то вам нет надобности приходить к такому заключению. Моё доказательство действительно доказало предложение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором. Вы интересуетесь только такими доказательствами, которые «доказывают» то, для доказательства чего они созданы. Я же интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное.
Альфа. Следовательно, по вашей философии — локальный контрапример (если он не является одновременно глобальным) является критикой доказательства, но не предположения, а глобальный контрапример будет критикой предположения, но не обязательно доказательства. Вы соглашаетесь сдаться в том, что касается предположения, но вы защищаете доказательство. Но если предположение ложно, то что же тогда доказывает доказательство?
Гамма. Ваша аналогия с Колумбом не подходит. Принятие глобального контрапримера равносильно полной сдаче.
б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров
Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы доказали вашу догадку — теперь она стала теоремой. Я принимаю, что она не согласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана? Нужно отступить «критике». Это поддельная критика.
Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример.
Гамма. А почему нет? Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из многоугольников — граней. А мой контрапример является телом, ограниченным многоугольниками — гранями.
Учитель. Назовём это Определение 121.
Дельта. Ваше определение неправильно. Многогранник должен быть поверхностью: он имеет грани, ребра, вершины, он может быть деформирован, растянут на доске и ему нет никакого дела до понятия о «твёрдом теле». Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников.
Учитель. Назовём это Определение 222.
Дельта. Таким образом, в действительности вы показали нам два многогранника, две поверхности, одна полностью внутри другой. Женщина с ребёнком во чреве не может быть контрапримером для тезиса, что люди имеют одну голову.
Альфа. Так! Мой контрапример породил новое понятие о многограннике. Вы осмеливаетесь утверждать, что под многогранником всегда подразумеваете поверхность?
Рисунок 6
Учитель. В данный момент позволим себе принять определение два Дельты. Можете вы опровергнуть наше предположение, если под многогранником мы теперь будем понимать поверхность?
Альфа. Конечно. Возьмите два тетраэдра, имеющие общее ребро (рис. 6, а). Или возьмите два тетраэдра, имеющие общую вершину (рис. 6, б). Оба эти близнеца связаны, оба составляют одну единственную поверхность. И вы можете проверить, что в обоих случаях V — Е + F = 3.
Учитель. Контрапримеры 2, а и 2, б 23.
Дельта. Я восхищаюсь вашим извращённым воображением, но, конечно, я не считал, что любая система многоугольников будет многогранником. Под многогранником я подразумеваю систему многоугольников, расположенных таким образом, чтобы (1) на каждом ребре встречались только два многоугольника и (2) чтобы было возможно изнутри одного многоугольника пройти во внутрь другого любой дорогой, которая никогда не пересекает ребра в вершине. Ваши первые близнецы исключаются первым критерием моего определения, ваши вторые близнецы — вторым критерием.
Учитель. Определение 3 24.
Альфа. Я восхищаюсь вашим извращённым остроумием, изобретающим одно определение за другим, как баррикады против уничтожения ваших любимых идей.
Почему бы вам не определить многогранник как систему многоугольников, для которых имеет место уравнение V — Е + F = 2, и это Идеальное Определение…
Учитель. Определение И 25.
Альфа … навсегда покончит с диспутом? Тогда уже не будет нужды в дальнейшем исследовании этого предмета.
Дельта. Но не существует на свете теоремы, которую нельзя было бы опровергнуть при помощи монстров.
Учитель. Извините, что прерву вас. Мы видели, что опровержение при помощи контрапримеров зависит от понимания рассматриваемых терминов. Если контрапример должен служить объективной критике, то нужно уговорится в понимании нашего термина. Мы можем достичь этого соглашения, определив термин, на котором оборвалось сообщение. Я, например, не определял понятия «многогранник». Я считал, что этот термин является общеизвестным, то есть все заинтересованные обладают способностью отличить вещь, которая является многогранником, от вещи, которая им не является, — то, что некоторые логики называют знанием объёма понятия «многогранник». Оказалось, что объём этого понятия совсем не является очевидным: очень часто определения даются и обсуждаются именно тогда, когда появляются контрапримеры.
Рисунок 7
Я предлагаю теперь рассмотреть все соперничающие определения вместе и отложить пока обсуждение различий, получающихся в результате выборов разных определений. Может ли кто предложить что-нибудь такое, что можно считать действительно противоречащим примером даже по самому ограничивающему определению?
Каппа. Включая Определение И?
Учитель. Исключая Определение И.
Гамма. Я могу. Взгляните на этот контрапример 3: звездчатый многогранник — я назову его «морским ежом» (рис. 7). Он состоит из 12 звездных пятиугольников (рис. 8). Он имеет 12 вершин, 30 рёбер и 12 пятиугольных граней — если хотите, вы можете проверить это подсчётом. Таким образом, положение Декарта-Эйлера совершенно неправильно, так как для этого многогранника V — Е + F = — 6 26.
Дельта. А почему вы думаете, что ваш «морской еж» будет многогранником?
Гамма. Разве вы не видите? Это многогранник, гранями которого являются двенадцать звездчатых пятиугольников. Он удовлетворяет вашему последнему определению: это — «система многоугольников, расположенных таким образом, что (1) на каждом ребре встречаются только два многоугольника и (2) из каждого многоугольника можно попасть в любой другой многоугольник без перехода через вершину многогранника».
Дельта. Но тогда вы даже не знаете, что такое многоугольник!
Звездчатый пятиугольник наверняка не будет многоугольником. Многоугольником называется система рёбер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.
Учитель. Назовём это Определение 4.
Гамма. Я не понимаю, почему вы включаете второе условие: Правильное определение многоугольника должно содержать только первое условие.
Учитель. Определение 4’.
Гамма. Второе условие не имеет ничего общего с сущностью многоугольника.
Смотрите: если я немножко подниму одно ребро, то звездчатый многоугольник всё же будет многоугольником, даже в вашем смысле. Вы воображаете многоугольник, начерченный мелом на доске; но его должно представлять себе как структуру из дерева: тогда то, что вы считаете общей точкой, в действительности будет, очевидно, не точкой, но двумя различными точками, лежащими одна над другой. Вас ввело в заблуждение, что вы помещаете многоугольники в плоскость, — вы должны позволить его членам простираться в пространстве 27.
Дельта. Не скажете ли вы мне, что такое площадь звездчатого многоугольника? Или вы думаете, что некоторые многоугольники не имеют площади?
Гамма. Да ведь вы же сами сказали, что понятие о многограннике может быть совсем не связано с идеей телесности. Почему же теперь вы полагаете, что понятие о многоугольнике должно быть связано с понятием о площади? Мы согласились, что многогранник представляет собой замкнутую поверхность с ребрами и вершинами — тогда почему бы нам не согласиться, что многоугольник будет просто замкнутой кривой с вершинами? Но если вы придерживаетесь нашей идеи, то я охотно определю площадь звездчатого многоугольника 28.
Учитель. Оставим на некоторое время этот диспут и пойдём, как и раньше.
Рассмотрим вместе два последних определения — Определение 4 и Определение 4’. Может ли кто-нибудь дать контрапример для нашего предположения, которое допускало бы оба определения многоугольников?
Альфа. Вот вам один. Рассмотрим раму картины вроде такой (рис. 9). По всем предложенным до сих пор определениям это будет многогранник. Однако после подсчёта вершин, рёбер и граней вы найдёте, что V — Е + F = 0.
Учитель. Контрапример 429.
Бета. Ну, это конец нашей догадке. Очень жаль, потому что она во многих случаях была подходящей. Но, по-видимому, мы напрасно потеряли время.
Альфа. Дельта, я поражен. Вы ничего не говорите? Вы не можете этот новый контрапример вьюпределить из существования? Я думал, что на свете не существует гипотез, которых вы не смогли бы спасти от уничтожения при помощи подходящей лингвистической хитрости. сдаётесь вы теперь? Наконец, соглашаетесь, что существуют неэйлеровы многогранники? Не поверю!
Дельта. Нашли бы вы лучше более подходящее имя для ваших неэйлеровых чудовищ и не путали нас, называя их многогранниками. Но я постепенно теряю интерес к вашим монстрам. Меня берёт отвращение от ваших несчастных «многогранников», для которых неверна прекрасная теорема Эйлера 30. Я ищу порядка и гармонии в математике, а вы только распространяете анархию и хаос 31. Наши положения непримиримы.
Альфа. Вы настоящий старомодный консерватор! Вы браните скверных анархистов, портящих ваш «порядок» и «гармонию» и вы «решаете» затруднения словесными рекомендациями.
Учитель. Послушаем последнее спасительное определение.
Альфа. Вы подразумеваете последний лингвистический трюк, последнее сжатие понятия «многогранник?» Дельта разрушает реальные задачи, вместо того чтобы разрешать их.
Дельта. Я не «сжимаю» понятий. Это вы расширяете их. Например, эта картинная рама совсем не настоящий многогранник.
Альфа. Почему?
Дельта. Возьмите какую-нибудь точку в «туннеле» — пространстве, ограниченном рамой. Проведите плоскость через эту точку. Вы найдёте, что всякая такая плоскость будет всегда с картинной рамой иметь два поперечных сечения, составляющих два отдельных, совершенно не связанных многоугольника! (рис. 10).
Рисунок 11
Альфа. Ну и что?
Дельта. В случае настоящего многогранника через любую точку пространства можно провести по крайней мере одну плоскость, сечение которой с многогранником будет состоять из одного лишь многоугольника. В случае выпуклого многогранника этому требованию будут удовлетворять все плоскости, где бы мы ни взяли точку. В случае обыкновенного невыпуклого многогранника некоторые плоскости будут иметь большее число пересечений, но всегда будут такие, которые имеют только одно пересечение (рис. № 11). В случае этой картинной рамы все плоскости будут иметь два поперечных сечения, если мы возьмём точку внутри рамы. Как же тогда вы можете назвать это многогранником?
Учитель. Это похоже на ещё одно определение, выраженное на этот раз в неявной форме. Назовём его Определение 532.
Альфа. Целая серия контрапримеров, подходящая серия определений, которые не содержат ничего нового, но представляют лишь новые откровения богатства одного старого понятия, которое кажется имеющим столько же «скрытых» требований, сколько и контрапримеров. Для всех многогранников V — E + F = 2 кажется неопровержимой, старой и «вечной» истиной. Странно думать, что когда-то это было удивительной догадкой, исполненной вызова и волнения. Теперь же, вследствие ваших странных изменений смысла, оно превратилось в скудную условность, в вызывающую пренебрежение частицу догмы.
(Он покидает классную комнату.)
Дельта. Я не могу понять, каким образом такой способный человек, как Альфа, может тратить свой талант на пустые словопрения. Он, кажется, весь поглощён производством монстров, но монстры никогда не способствовали росту ни в мире природы, ни в мире мысли. Эволюция всегда следует гармоническому и упорядоченному образцу.
Гамма. Генетики могут легко опровергнуть это. Разве вы не слышали, что мутации, производящие уродства, играют значительную роль в макроэволюции?
Такие уродливые мутанты они называют «подающими надежды монстрами». Мне кажется, что контрапримеры Альфы, хотя и уродства, являются «уродами, подающими надежду» 33
Дельта. Во всяком случае Альфа отказался от борьбы. Теперь никаких новых монстров больше уже не будет.
Гамма. У меня есть новый. Удовлетворяет всем ограничениям Определений 1, 2, 3, 4 и 5, но для него V — Е + F = 1.
Этот контрапример 5 — простой цилиндр. У него 3 грани (оба основания и боковая поверхность), 2 ребра (оба круга) и нет вершин. Он многогранник по вашему определению: (1) у каждого ребра ровно по два многоугольника и (2) изнутри одного многоугольника можно пройти внутрь любого другого путём, не пересекающим ни одного ребра в вершине. И вам придётся грани считать настоящими многоугольниками, так как они удовлетворяют вашим требованиям: (1) у каждой вершины встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.
Дельта. Альфа растягивал понятия, а вы их режете. Ваши «ребра» — не ребра! Ребро имеет две вершины!
Учитель. Определение 6?
Гамма. Но почему отрицать статус «ребра» для таких рёбер, которые имеют только одну или нуль вершин? Вы обычно сокращали содержание понятий, а теперь так калечите их, что почти ничего не остаётся!
Дельта. Но разве вы не видите всей тщетности так называемых опровержений? До сих пор, когда изобретали новый многогранник, то это делалось для какой-нибудь практической цели; теперь же их изобретают специально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого из них и не получишь. Наш предмет превращается в тератологический музей, где приличные нормальные многогранники могут быть счастливыми, если им удаётся удержать очень маленький уголок 34
Гамма. Я думаю, что если мы хотим изучить что-нибудь действительно глубоко, то нам нужно исследовать это не в его «нормальном», правильном, обычном виде, но в его критическом положении, в лихорадке и страсти. Если вы хотите узнать нормальное здоровое тело, то изучайте его, когда оно в ненормальном положении, когда оно болеет. Если вы хотите знать функции, то изучайте их странности. Если вы хотите познать обычные многогранники, то изучайте их причудливые обрамления. Вот только так можно внести математический анализ в самое сердце вещей 35. Но если даже в основе вы правы, разве вы не видите бесплодия вашего метода ad hoc? Если вы хотите провести пограничную линию между контрапримерами и монстрами, то этого нельзя сделать в припадках и срывах.
Учитель. Я думаю, что мы должны отказаться от принятия стратегии Дельты в работе с глобальными контрапримерами, хотя нужно поздравить его с искусным её проведением. Его метод мы можем назвать подходящим термином — метод устранения монстров. При помощи такого метода можно исключить любой контрапример для первоначального предположения при помощи какого-нибудь глубокого, но всегда ad hoc, изменения определения многогранника, или терминов, его определяющих, или определяющих терминов для его определяющих терминов. Мы должны несколько с большим уважением обращаться с контрапримерами, а не упорно заклинать их, называя монстрами. Главной ошибкой Дельты, пожалуй, будет его догматический уклон в понимании математического доказательства; он думает, что доказательство необходимо доказывает то, для доказательства чего оно было предназначено. Моё понимание доказательства допускает «доказательство» и ложного предположения путём разложения его на вспомогательные. Если предположение ложно, то я с уверенностью ожидаю, что будет ложным и, по крайней мере, одно из этих вспомогательных предположений. Но само разложение тоже может быть интересным! Я не смущаюсь, если будет найден контрапример для «доказанной» догадки; я даже согласен пытаться «доказывать» ложное предположение!
Тета. Я не понимаю вас.
Каппа. Он только следует Новому Завету: «Испытывай все; держись крепко за то, что хорошо» (Первое послание к фессалоникийцам, гл. 5, 21).
в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра
Бета. Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я всё же должен избавиться от их тяжести.
Учитель. Продолжайте.
(Альфа возвращается.)
Бета. Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я всё-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумное зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является правильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «патологическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их как примеры интересные, имеющие право на самостоятельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контрапример»; хотя это и даёт право принимать их на равной ноге с подтверждающими примерами, но как-то окрашивает их в военные цвета, так что некоторые, вроде Гаммы, при их виде приходят в панику и впадают в соблазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных доказательств. Нет, они являются только исключениями.
Сигма. Я более чем согласен. Термин «контрапример» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашёл доказательство. «Исключение» — это как раз правильное выражение. «Существуют три рода математических предложений:
Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет пи ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.
Те, которые основаны на некотором ложном принципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.
Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения…».
Эпсилон. Что?
Сигма. «Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами, допускающими некоторые ограничения» 36. Как говорит пословица: исключения подтверждают правило.
Эпсилон (к Каппе). Кто этот путаник? Ему следовало бы немного поучиться логике.
Каппа (к Эпсилону). И узнать кое-что об неевклидовых плоских треугольниках.
Дельта. Хотя мне и трудно, но я должен предсказать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажемся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложным или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобы мы допустили третью категорию предложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допустить в математике хаос и смуту.
Альфа. Согласен.
Эта. Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет полезно, если я кратко расскажу историю моего интеллектуального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защиты против людей типа Альфы, но для защиты против типа Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относительно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предложили доказательства всеобщей правильности этой теоремы. Однако она допускает исключения… Необходимо обратить внимание на эти исключения, так как даже новейшие авторы не всегда ясно признают их» 37.
Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указывается, что прекрасная теорема Эйлера V + F = E + 2 в некоторых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но ещё никто не узнал истинной причины этих исключений» 38. Я очень внимательно рассмотрел эти «исключения» и пришёл к выводу, что они не соответствуют правильному определению рассматриваемых предметов. Таким образом, можно восстановить в правах доказательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.
Альфа. Хаотическая позиция Сигмы может служить объяснением вашего устранения монстров, но никак не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не исключить хаос принятием верительных грамот контрапримера и отбросить и «теорему» и «доказательство?»
Эта. А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нём ничего неправильного. А вы можете? Моё устранение монстров мне кажется более рациональным, чем ваше устранение доказательств.
Учитель. Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую аудиторию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вернёмся к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контрапримеры в исключения. Сигма согласился с Бетой…
Бета. Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадёжно неправильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведён в степень правильных при помощи добавления ограничивающих положений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правильности. В действительности большая часть формул справедлива только при выполнении некоторых условий. Определение этих условий и, конечно, уточнение смысла употребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределённость» 39.
Как видите, я не являюсь сторонником любой формы мирного сосуществования между неисправленными формулами и исключениями. Я исправляю мои формулы и делаю их совершенными, вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это значит, что я принимаю метод устранения монстров, поскольку он может служить для установления области правильности первоначальной догадки; но отбрасываю его, если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничивающих положений. Эти два вида функционирования метода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для которого характерен только первый способ функционирования, мне хотелось бы назвать «методом устранения исключений».
Я буду использовать его для точного определения области, в которой является правильной догадка Эйлера.
Учитель. Какую же «точно определённую область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула?»
Бета. Для всех многогранников, не имеющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V — Е + F = 2.
Учитель. Вы уверены?
Бета. Да, вполне.
Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?
Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и «кратной структуры»40.
Учитель. Вижу. Я согласен с тем, что вы исправляете догадку, вместо того чтобы просто принять или не принять её. Я считаю, это лучше и метода устранения монстров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения. Во-первых, я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает её «строго правильной», что он «заставляет исчезнуть все неопределённости», Но ad hoc-ность вашего метода уничтожает его шансы на достижение уверенности в истине.
Бета. В самом деле?
Учитель. Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуманным ad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы исключили многогранники с полостями. Когда вам удалось заметить картинную раму, вы исключили многогранники с туннелями. Я ценю ваш открытый и наблюдательный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что всё же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключения».
Хорошо, допустим, что положение «все многогранники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но зачем же статус теоремы, которая более уже не является догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и ещё чего-нибудь являются эйлеровыми?» Как вы можете быть уверенным, что перечислили все исключения?
Бета. Можете ли дать одно, которое я не учел бы?
Альфа. А что вы скажете о моём «морском еже?»
Гамма. И о моём цилиндре?
Учитель. Мне даже не нужно какое-нибудь конкретное новое «исключение» для моей аргументации.
Мой аргумент касается только возможности дальнейших исключений.
Бета. Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужно говорить: «Если в явлениях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в дальнейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда можно будет начать высказывать его с тем исключением, которое появилось» 41.
Дайте подумать. Сначала мы высказали догадку, что V — E + F = 2 годится для всех многогранников, потому что мы нашли его верным для кубов, октаэдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к общему» 42.
Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие многогранники, так наше обобщение уже перестало годиться 43. Так, вместо постепенного отбрасывания исключений я скромно, но с надёжностью проведу граничную линию — «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми»44.
И я надеюсь, вы согласитесь, что в этом нет ничего гадательного, это уже будет теоремой.
Гамма. А как с моим цилиндром? Ведь он выпуклый?
Бета. Это шутка!
Учитель. Забудем на момент об этом цилиндре. Некоторые критические замечания можно выставить даже и без цилиндра. В этой новой видоизменённой версии метода устранения исключений, который так бодро выдумал Бета в ответ на мою критику, постепенный отход заменён стратегическим отступлением в область, которая, как думают, для данной догадки будет твердыней. Вы стремитесь к безопасности. Но так ли вы безопасны, как думаете?
У вас нет никаких гарантий, что внутри вашей твердыни но найдётся никаких исключений. Кроме того, есть и противоположная опасность. Может быть, вы слишком радикально отступили, оставив за стеной большое количество эйлеровых многогранников? Наша первоначальная догадка могла быть чрезмерным утверждением, но ваш «усовершенствованный» тезис, по-моему, очень сильно смахивает на утверждение с недостатком; и всё же вы не можете быть уверены, что он также не будет чрезмерным утверждением.
Мне также хотелось бы выставить моё второе возражение: вы в своей аргументации забываете о доказательстве; делая предположение относительно области правильности догадки, по-видимому, вы совсем не нуждаетесь в доказательстве. Конечно, вы не думаете, что доказательства являются излишними?
Бета. Этого я никогда не говорил.
Учитель. Да, этого вы не сказали. Но вы открыли, что наше доказательство не доказывает нашей первоначальной догадки. А будет ли оно доказывать вашу исправленную догадку? Скажите же мне это 45.
Бета. Ну…
Эта. Благодарю вас, сэр, за этот аргумент. Смущение Беты ясно обнаруживает превосходство опороченного метода устранения уродств. Ведь мы говорим, что доказательство доказывает то, что было предложено доказать, и наш ответ совершенно недвусмыслен. Мы не позволяем своенравным контрапримерам свободно уничтожать респектабельные доказательства, даже если они переодеваются в скромные «исключения».
Бета. Я ничуть не смущен тем, что мне приходится разработать, исправить и — извините меня, сэр, — усовершенствовать мою методологию под стимулом критики. Мой ответ таков. Я отбрасываю первоначальную догадку как ложную, потому что для неё имеются исключения. Также я отбрасываю и доказательство, потому что те же исключения, по крайней мере для одной из лемм, будут тоже исключениями (по вашей терминологии это значит, что глобальный контрапример является необходимо и локальным).
Альфа остановился бы на этом месте, так как опровержения, по-видимому, вполне удовлетворяют его интеллектуальным способностям. Но я иду дальше. Подходящим ограничением сразу и догадки и доказательства их собственной областью я совершенствую догадку, которая теперь становится истинной, и совершенствую в своей основе здравое доказательство, которое становится теперь строгим и, очевидно, уже не будет содержать ложных лемм. Например, мы видели, что не все многогранники после устранения одной грани могут быть растянуты на плоскости в плоскую фигуру. Но это может быть сделано со всеми выпуклыми многогранниками. Поэтому мою усовершенствованную и строго доказанную догадку я имею право назвать теоремой. Я снова формулирую ее: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». Для выпуклых многогранников все леммы будут, очевидно, истинными и доказательство, которое в его ложной всеобщности не было строгим, в ограниченной области выпуклых многогранников станет строгим. Итак, сэр, я ответил на ваш вопрос.
Учитель. Итак, леммы, которые когда-то выглядели очевидно истинными до открытия исключения, будут опять выглядеть очевидно истинными, … пока не открыто новое исключение.
Вы допускаете, что положение: «Все многогранники являются эйлеровыми» было догадкой; вы только что допустили, что «Все многогранники без полостей и туннелей являются эйлеровыми» было тоже догадкой, почему же не допустить, что «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми» может тоже оказаться догадкой!
Бета. На этот раз не догадкой, а интуицией!
Учитель. Я ненавижу вашу претенциозную «интуицию». Я уважаю сознательную догадку, потому что она происходит от лучших человеческих качеств: смелости и скромности.
Бета. Я предложил теорему: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». Против неё вы произнесли речь. Можете ли вы предложить контрапример?
Учитель. Вы не можете быть уверены, что я этого не сделаю. Вы улучшили первоначальную догадку, но вы не можете требовать признания, что усовершенствовали эту догадку, чтобы достичь совершенной строгости в вашем доказательстве.
Бета. А вы это можете?
Учитель. Я тоже не могу. Но я думаю, что мой метод улучшения догадок будет улучшением вашего, так как я установлю единство, настоящее взаимодействие между доказательствами и контрапримерами.
Бета. Я готов учиться.
г) Метод исправления монстров
Ро. Сэр, могу я мимоходом сказать несколько слов?
Учитель. Пожалуйста.
Ро. Я согласен, что мы должны отбросить данный Дельтой метод устранения монстров как общий методологический подход, потому что этот метод не рассматривает монстры серьёзно. Бета тоже не рассматривает свои «исключения» серьёзно; он просто составляет их список, а потом уходит в безопасную область. Таким образом, оба эти метода интересны только в ограниченном, привилегированном поле. Мой метод не практикует дискриминации. Я могу показать, что «при более пристальном рассмотрении исключения становятся лишь кажущимися и теорема Эйлера сохраняет свою силу даже для так называемых исключений» 46.
Учитель. В самом деле?
Альфа. А как может быть обыкновенным эйлеровым многогранником мой третий контрапример «морской еж?» (См. Pис. 7.) В качестве граней он имеет 12 звездчатых пятиугольников.
Ро. Я не Вижу никаких «звездчатых пятиугольников». Разве вы не видите, что в действительности этот многогранник имеет обыкновенные треугольные грани. Их всего 60. Он имеет также 90 рёбер и 32 вершины. Его «эйлерова» характеристика равна 2 47. Двенадцать «звездчатых пятиугольников», их 30 «ребер» и 12 «вершин», дающих характеристику 6, существуют только в вашей фантазии. Существуют не монстры, а только монстролюбивые толкования. Нужно очистить свой ум от извращённых иллюзий, надо научиться видеть и правильно определять, что видишь. Мой метод терапевтический: там где вы — ошибочно — «видите» контрапример, я учу вас узнавать — правильно — простой пример. Я исправляю ваше монстролюбивое зрение 48.
Альфа. Сэр, пожалуйста, объясните ваш метод, прежде чем Ро выстирает наши мозги 49.
Учитель. Пусть он продолжает.
Ро. Я уже высказал, что хотел.
Гамма. Не могли бы вы поговорить подробнее относительно вашей критики метода Дельты? Вы оба заклинали монстров…
Ро. Дельта попался в плен ваших галлюцинаций. Он согласился, что наш «морской еж» имеет 12 граней, 30 рёбер и 12 вершин и не является эйлеровым.
Его тезис заключался в том, что «морской еж» даже не является многогранником.
Но он ошибся в том и другом смысле. Ваш «морской еж» является и многогранником и притом эйлеровым. Но его звездчато-многогранное понимание было неправильным толкованием. С вашего разрешения, это не воздействие «морского ежа» на здоровый чистый ум, но искажённое воздействие на больной ум, корчащийся в муках 50.
Каппа. Но как вы можете отличать здоровые мозги от больных, рациональные толкования от уродливых? 51
Ро. А меня только удивляет, как вы можете их смешивать.
Сигма. А вы, Ро, действительно думаете, что Альфа никогда не замечал, что его «морской еж» мог быть истолкован как треугольный многогранник? Конечно, он мог это заметить. Но более внимательный взгляд открывает, что эти треугольники всегда лежат по пяти в одной плоскости и окружают в телесном угле правильный пятиугольный тайник — как бы их сердце. Но пять правильных пятиугольников составляют так называемую пентаграмму, которая, по словам Теофраста Парацельса, была знаком здоровья… 52
Ро. Суеверие!
Сигма. И вот таким образом для здорового ума открывается тайна «морского ежа»: это новое до сих пор ещё неведомое правильное тело с правильными гранями и равными телесными углами, красота симметрии которого может открыть нам тайны всеобщей гармонии… 53
Альфа. Благодарю вас, Сигма, за вашу защиту, которая ещё раз убеждает меня, что оппоненты могут причинить меньше помех, чем союзники. Конечно, мою многогранную фигуру можно толковать или как треугольный или как звездчатый многогранник. Я согласен одинаково допустить оба толкования…
Каппа. Вы согласны?
Дельта. Но, конечно, одно из них будет истинным толкованием.
Альфа. Я согласен одинаково допустить оба толкования, но одно из них наверняка будет глобальным контрапримером для догадки Эйлера. Зачем же допускать только то толкование, которое «хорошо подходит» к предвзятым мнениям Ро? Во всяком случае, сэр, не объясните ли вы нам теперь ваш метод?
д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки
Учитель. Вернёмся к раме картины. Во-первых, я признаю, что она является настоящим глобальным контрапримером для эйлеровой догадки, а также настоящим локальным контрапримером для первой леммы моего доказательства.
Гамма. Извините меня, сэр, но каким образом рама картины опровергает первую лемму?
Учитель. Выньте сначала одну грань, а потом попробуйте растянуть её в плоскую фигуру на доске. Вам это не удастся.
Альфа. Чтобы помочь вашему воображению я скажу, что после вынимания грани вы можете растянуть оставшееся на доске у тех и только тех многогранников, которые надуванием возможно превратить в шар. Очевидно, что такой «сферический» многогранник можно растянуть на плоскости, когда одна грань будет вынута; также очевидно, что и, наоборот, если многогранник без одной грани можно растянуть на плоскости, то вы можете согнуть его так, чтобы он мог обтянуть круглый сосуд, который затем можно закрыть недостающей гранью, и таким образом получить сферический многогранник. Но нашу картинную раму никак нельзя надуть так, чтобы она обратилась в шар; она может обратиться только в тор.
Учитель. Хорошо.
Теперь вопреки Дельте я принимаю эту картинную раму в качестве критики для догадки. Поэтому я устраняю как ложную первоначальную форму догадки, но сразу же выдвигаю видоизменённую ограничивающую версию, а именно догадка Декарта — Эйлера справедлива для «просты х» многогранников, то есть для таких, которые после выемки одной грани могут быть растянуты на плоскости. Таким образом, из первоначальной гипотезы мы кое-что спасли. Мы имеем: эйлерова характеристика простого многогранника равна 2. Этот тезис не может быть опровергнут ни кубом в кубе, ни тетраэдрами-близнецами или звездчатыми многогранниками, так как ни одно из этих тел не будет «простым». Таким образом, если метод устранения исключений уменьшал область применимости основной догадки и подозрительной леммы, сводя их к общей безопасной области, и поэтому принимал контрапример как критику и основной догадки и доказательства, то мой метод включения лемм сохраняет доказательство, но ограничивает область правильности основной догадки, сводя её к истинной области подозрительной леммы. Иначе, если контрапример, являющийся одновременно и глобальным и локальным, заставлял устрани теля исключений пересмотреть как леммы, так и первоначальную догадку, то меня он заставляет пересмотреть первоначальную догадку, но не леммы. Вы понимаете?
Альфа. Думаю, что да. Для доказательства, что я понимаю, я опровергну вас 54
Рисунок 12
Учитель. Мой метод или мою исправленную догадку?
Альфа. Вашу исправленную догадку.
Учитель. Тогда может быть вы всё же не понимаете моего метода. Но давайте ваш контрапример.
Альфа. Рассмотрим куб с маленьким кубом, поставленным сверху (рис. 12). Это согласно со всеми нашими определениями (определения 1, 2, 3, 4, 4’). Следовательно, это будет настоящим многогранником. И он «простой», так как может быть растянут на плоскости. Таким образом, согласно вашей исправленной догадке, его эйлерова характеристика должна быть равна 2. Тем не менее он имеет 16 вершин, 24 ребра и 11 граней, и его эйлерова характеристика будет 16 - 24 + 11 = 3. Это будет глобальным контрапримером для вашей исправленной догадки и также, между прочим, для первой теоремы Беты, «устраняющей исключения». Этот многогранник не будет эйлеровым, хотя он не имеет ни полостей, ни туннелей, ни кратной структуры.
Дельта. Этот увенчанный куб назовём контрапримером 655.
Учитель. Вы сделали ложной мою исправленную догадку, но не уничтожили моего метода улучшения. Я снова пересмотрю доказательство и постараюсь узнать, почему оно не подходит к вашему многограннику. В доказательстве должна быть ещё одна неправильная лемма.
Бета. Ну, конечно, так и есть. Я всегда подозревал вторую лемму. Она предполагает, что в триангуляционном процессе, проводя новое диагональное ребро, вы всегда увеличиваете на единицу числа и рёбер и граней. Это неверно. Если мы посмотрим на плоскую сетку нашего увенчанного куба, то найдём кольцеобразную грань (рис. 13, а). В этом случае одно диагональное ребро не увеличит числа граней (рис. 13, б); нужно увеличить число рёбер на два, чтобы число граней увеличилось на единицу (рис. 13, в).
Учитель. Примите мои поздравления. Я, конечно, должен ещё больше ограничить нашу догадку…
Бета. Я знаю, что вы хотите сделать. Вы скажете, что простые многогранники с треугольными гранями будут эйлеровыми. Вы сохраните триангуляционный процесс и включите эту лемму в условия.
Учитель. Нет, вы ошибаетесь. Прежде чем конкретно указать вашу ошибку, мне хочется остановиться на вашем методе устранения исключений. Когда вы сводите вашу догадку к «безопасной» области, вы по-настоящему не рассматриваете доказательства и действительно для вашей цели это не нужно. Вам достаточно будет лишь сделать небрежное замечание, что в вашей ограниченной области будут справедливы все леммы, какими бы они ни были.
Но для меня этого недостаточно. Ту самую лемму, которая была опровергнута контрапримером, я встраиваю в догадку, так что мне нужно отметить её и сформулировать насколько возможно точно на основании тщательного анализа доказательства. Таким образом, опровергнутая лемма включается в исправленную догадку. Ваш метод не заставляет вас производить очень трудную разработку доказательства, так как в вашей исправленной догадке доказательство не появляется, как в моей. Теперь я возвращаюсь к вашему нынешнему замечанию.
Опровергнутая кольцеобразной гранью лемма не формулировалась, как вы, по-видимому, думаете, что «все грани треугольны», но что «всякая грань, рассеченная диагональным ребром, распадается на две части». Вот эту-то лемму я и превращаю в условие. Удовлетворяющие ему грани я называю «односвязными» и могу сделать второе улучшение моей первоначальной догадки: «для простого многогранника, у которого все грани односвязны, V — Е + F = 2». Причина вашего быстрого неправильного утверждения заключалась в том, что ваш метод не приучил вас к тщательному анализу доказательства. Этот анализ бывает иногда довольно тривиальным, но иногда действительно очень труден.
Рисунок 13
Бета. Я понимаю вашу идею. Я тоже должен добавить самокритическое замечание к вашим словам, так как мне кажется, что они открывают целый континуум положений для устранения исключений. В самом худшем случае просто устраняются некоторые исключения и не обращается никакого внимания на доказательство. Мистификация получается, когда мы отдельно имеем доказательство и также отдельно исключения.
В мозгу таких примитивных устранителей исключений доказательства и исключения помещаются в двух совершенно разделённых помещениях. Другие могут теперь указать, что доказательство будет действительным только в ограниченной области, в чём, по их мнению, и заключается раскрытие тайны. Но всё же их «условия» для идеи доказательства будут посторонними 56.
Лучшие устранители исключений бросают беглый взгляд на доказательство и, как я в настоящую минуту, получают некоторое вдохновение для формулировки условий, определяющих безопасную область. Самые лучшие устранители исключений производят тщательный анализ доказательства и на этом основании дают очень тонкое ограничение запрещённой площади. В этом отношении наш метод действительно представляет предельный случай метода устранения исключений…
Йота … и обнаруживает фундаментальное диалектическое единство доказательств и опровержений.
Учитель. Я надеюсь, что теперь вы все видите, что доказательства, хотя иногда правильно и не доказывают, но определённо помогают исправить (improve) нашу догадку 57.
Устранители исключений тоже исправляли её, но исправление было независимым от доказательства (proving).
Наш метод исправляет доказывая (improves by proving). Внутреннее единство между «логикой открытия» и «логикой оправдания» является самым важным аспектом метода инкорпорации лемм.
Бета. И, конечно, теперь я понимаю ваши предыдущие удивившие меня замечания, что вы не смущаетесь, если догадка будет одновременно и «доказана» и опровергнута, а также, что вы готовы доказать даже неправильную догадку.
Каппа (в сторону). Но зачем же называть «доказательством» (proof) то, что фактически является «исправлением» (improof)?
Учитель. Обратите внимание, что немногие люди захотят разделить эту готовность. Большая часть математиков вследствие укоренившихся эвристических догм неспособны к одновременному доказательству и опровержению догадки. Они будут или доказывать, или опровергать её. В особенности они не способны опровержением исправлять догадки, если эти последние будут их собственными. Они хотят исправлять свои догадки без опровержений; о ни никогда не уменьшают неправильности, по непрерывно увеличивают истинность; таким образом рост знания они очищают от ужаса контрапримеров. Может быть, это и является основой подхода лучшего сорта устранителей исключений; они начинают со «стремления к безопасности» и придумывают доказательство для «безопасной» области, а продолжают работу, подвергая это доказательство глубокому критическому исследованию, испытывая, использовали ли они все поставленные условия. Если этого нет, то они «заостряют» или «обобщают» первую скромную версию их теоремы, то есть выделяют леммы, от которых зависит доказательство, и инкорпорируют их. Например, после одного или двух контрапримеров они могут сформулировать устраняющую исключения предварительную теорему: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми», откладывая невыпуклые объекты для cura posterior (дальнейшей работы — Лат.); затем они изобретают доказательство Коши и тогда, открывши, что выпуклость не была реально «использована» в доказательстве, они строят теорему, включающую леммы 58. Нет ничего эвристически нездорового в процедуре, которая соединяет предварительное устранение исключений с последовательным анализом доказательства и включением лемм.
Бета. Конечно, эта процедура не уничтожает критику, она только отталкивает её на задний план; вместо прямой критики чрезмерных утверждений критикуются недостаточные утверждения.
Учитель. Я очень рад, Бета, что убедил вас. А как вы, Ро и Дельта, думаете насчет этого?
Ро. Что касается меня, то я совершенно определённо думаю, что проблема кольцеобразных граней является псевдопроблемой. Она происходит от чудовищного истолкования того, что представляют грани и ребра этого соединения двух кубов в один, который вы назвали «увенчанным кубом».
Учитель. Объясните.
Ро. «Увенчанный куб» представляет многогранник, состоящий из двух кубов, припаянных один к другому. Вы согласны?
Учитель. Не возражаю.
Ро. Тогда вы неправильно понимаете термин «припаянный». «Припой» состоит из рёбер, связывающих вершины нижнего квадрата маленького куба с соответствующими вершинами верхнего квадрата большого куба. Поэтому вообще не существует никаких кольцеобразных граней.
Бета. Кольцеобразная грань здесь существует! Рассекающих рёбер, о которых вы говорите, здесь нет!
Ро. Они только скрыты от вашего ненатренированного глаза (рис. 14, в) 59
Рисунок 14
Бета. Неужели вы думаете, что мы всерьёз примем ваши аргументы? Я вижу здесь только суеверие, а ваши «скрытые» ребра неужели это реальность?
Ро. Посмотрите на этот кристалл соли. Скажете ли вы, что это куб?
Бета. Конечно.
Ро. Куб имеет 12 рёбер, не так ли?
Бета. Да, имеет.
Ро. Но на этом кубе вообще нет никаких рёбер. Они скрыты. Они появляются только в нашей рациональной реконструкции.
Бета. Я подумаю насчёт этого. Ясно только одно. Учитель критиковал мою самоуверенную точку зрения, что мой метод приводит к определённости, а также то, что я забыл о доказательствах. Эта критика вполне подойдёт и к вашему «исправлению монстров», и к моему «устранению ошибок».
Учитель. А как вы, Дельта? Как вы будете заклинать кольцеобразные грани?
Дельта. Я не буду. Вы обратили меня в вашу веру. Я только удивляюсь, почему вы не добиваетесь полной уверенности и не включаете также и пренебрежённую третью лемму? Я предлагаю четвёртую и, надеюсь, окончательную формулировку: «эйлеровыми являются все многогранники, которые будут (а) простыми, (b) имеют только односвязные грани и (с) таковы, что треугольники плоской треугольной сети, полученной после растягивания на плоскости и триангулирования, могут быть так перенумерованы, что при устранении их в определённом порядке V — Е + F не изменится до достижения последнего треугольника» 60.
Я удивляюсь, почему вы не предложили этого сразу. Если вы действительно принимаете серьёзно ваш метод, то вы все леммы должны превратить непосредственно в условия. Почему такое «постепенное построение?»
Альфа. Консерватор обратился в революционера! Ваш совет кажется мне слишком утопичным. Потому что ровно трёх лемм не существует. А то почему бы не добавить вместе со многими другими ещё и такие: (4) «если 1 + 1 = 2» и (5) «если все треугольники имеют три вершины и три угла», так как мы, конечно, эти леммы тоже используем? Я предлагаю в условия превратить только те леммы, для которых был найден контрапример.
Гамма. Мне кажется, что принять это в качестве методологического правила будет слишком оппортунистичным. Включим в целое только те леммы, против которых мы можем ожидать контрапримера, то есть такие, которые, очевидно, не будут несомненно истинными.
Дельта. Ну, хорошо, кажется ли кому-нибудь вполне очевидной наша третья лемма? Превратим её в третье условие.
Гамма. А что если операции, выраженные леммами нашего доказательства, не будут все независимыми? Если выполнимы некоторые из этих операций, то может случиться, что и остальные будут необходимо выполнимыми. Я например, подозреваю, что если многогранник простой, то всегда существует такой порядок устранения треугольников в получающейся плоской сети, что V — Е + F не изменяется. А если так, то инкорпорирование в догадку первой леммы избавит нас от инкорпорирования третьей.
Дельта. Вы считаете, что первое условие предполагает третье. Можете ли вы доказать это?
Эпсилон. Я могу 61.
Альфа. Действительное доказательство, как бы оно интересно ни было, не может помочь нам в решении нашей задачи: как далеко должны мы идти в исправлении нашей догадки? Охотно допускаю, что вы действительно имеете такое доказательство, как говорите, но это только заставит нас разложить эту третью лемму на несколько новых подлемм. Должны ли мы и их превратить в условия? Где же тогда мы остановимся?
Каппа. В доказательствах существует бесконечный спуск; поэтому доказательства не доказывают. Вы должны понять, что доказывание представляет игру, в которую играют, пока это доставляет удовольствие, и прекращают, когда устанешь.
Эпсилон. Нет, это не игра, а серьёзное дело. Бесконечный спуск может быть задержан тривиально истинными леммами, которые уже не надо превращать в условия.
Гамма. Вот я как раз так и думаю. Мы не обращаем в условия те леммы, которые могут быть доказаны на основании тривиально истинных принципов. Также мы не инкорпорируем те леммы, которые могут быть доказаны (возможно с помощью таких тривиально истинных принципов) на основании ранее установленных лемм.
Альфа. Согласен. Мы можем прекратить исправление нашей догадки после того, как превратим в условия эти две нетривиальные леммы. Я действительно думаю, что такой метод исправления при помощи включения лемм не имеет недостатков. Мне кажется, что он не только исправляет, но даже совершенствует догадку. И я отсюда узнал нечто важное, а именно, что неправильно будет утверждать, что целью «задачи на доказательство» является заключительный показ, будет ли некоторое ясно сформулированное утверждение истинным или что оно будет ложным 62. Настоящей целью «задачи на доказательство» должно быть исправление — фактически усовершенствование — первоначальной «наивной» догадки в подлинную «теорему».
Нашей наивной догадкой была: «Все многогранники являются эйлеровыми».
Метод устранения монстров защищает эту наивную догадку при помощи истолкования её терминов таким образом, что под конец мы получаем теорему, устраняющую монстры: «Все многогранники являются эйлеровыми». Но тождественность лингвистических выражений наивной догадки и теоремы, устраняющей монстры, кроме тайных изменений в смысле терминов, скрывает и существенное улучшение.
Метод устранения исключений вводит элемент, являющийся фактически чуждым аргументации: выпуклость. Устраняющая исключения теорема была: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми».
Метод включения лемм основывался на аргументации, то есть на доказательстве — и ни на чём другом. Он как бы резюмирует доказательство в теореме, включающей леммы: «Все простые многогранники с односвязными гранями являются эйлеровыми».
Это показывает, что (теперь я употребляю термин «доказывание» в традиционном смысле) человек не доказывает того, что он намеревался доказать.
Поэтому ни одно доказательство не должно кончаться словами: «Quod erat demonstrandum» 63.
Бета. Одни говорят, что в порядке открытия теоремы предшествуют доказательствам: «Прежде чем доказать теорему, надо угадать её». Другие отрицают это и считают, что открытие совершается путём вывода заключений из специально установленного ряда предпосылок и выделения интересных заключений, если нам посчастливится найти их. Или, если использовать прекрасную метафору одного из моих друзей, некоторые говорят, что эвристическое «застегивание молнии» в дедуктивной структуре идёт снизу — от заключения — вверх — к посылкам 64, другие же говорят, что оно идёт вниз — от вершины ко дну. Как думаете вы?
Альфа. Что ваша метафора неприложима к эвристике. Открытие не идёт ни вниз, ни вверх, но следует по зигзагообразному пути: толкаемое контрапримерами, оно движется от наивной догадки к предпосылкам и потом возвращается назад, чтобы уничтожить наивную догадку и заменить её теоремой. Интуитивная догадка и контрапримеры не выявляются во вполне готовой дедуктивной структуре: в окончательном продукте нельзя различить зигзаг открытия.
Учитель. Очень хорошо. Однако добавим из осторожности, что теорема не всегда отличается от наивной догадки. Мы не всегда обязательно исправляем доказывая. Доказательства могут исправлять, когда их идея открывает в наивной догадке неожиданные аспекты, которые потом появляются в теореме. Но в зрелых теориях так может и не быть. Так наверняка бывает в молодых растущих теориях. Первичной характеристикой последних является именно это переплетение открытия и подтверждения, исправления и доказательства.
Каппа (в сторону). Зрелые теории могут быть омоложены. Открытие всегда заменяет подтверждение.
Сигма. Эта классификация соответствует моей. Первый вид моих предложений был зрелого типа, третий же растущего…
Гамма (прерывает его). Теорема неверна! Я нашёл для неё контрапример.
Примечания:
Список примечаний представлен на отдельной странице, в конце издания.
