Абстракция актуальной бесконечности

Абстракция актуальной бесконечности — это метод мысленного отвлечения, направленный на формирование абстрактных понятий (см. Абстракция) в рамках одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности (см. Бесконечное и конечное) — идеи актуальной бесконечности. В наиболее простом случае — при рассмотрении какого-либо необрывающегося конструктивного процесса, порождающего объекты определённого типа, — абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы «продолженным до конца» и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат — множество (совокупность) всех порождённых им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинают трактовать в качестве актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения натуральных чисел 0, 1, 2, … в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту — натуральному ряду, который в дальнейшем выступает в качестве наличного объекта, равноправного с составляющими его числами. В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются «процессы» существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия множества как отдельного абстрактного понятия.

В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты «чистого» мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это создаёт определённые методологические трудности, в частности трудности истолкования суждений о возникающих в результате такого абстрагирования объектах. Эти трудности, связанные с косвенным характером «осязаемости» полученных с применением абстракции актуальной бесконечности объектов, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда абстракция актуальной бесконечности применяется многократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте (см. Логика) принятие абстракции актуальной бесконечности ведёт к обоснованию классической аристотелевской логики, и в частности закона исключённого третьего (см. Закон исключённого третьего).

Особую роль абстракция актуальной бесконечности играет в так называемой «архитектурной программе для математики» Г. Кантора, предусматривающей построение математики в виде надстройки над созданной им теорией множеств (точнее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении о множествах). Согласно этой программе, получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект рассматривается как множество, удовлетворяющее определённому условию, и это обстоятельство делает абстракцию актуальной бесконечности основным в рамках данного подхода объектообразующим фактором. Однако в связи с указанными выше трудностями неограниченное её применение в качестве правомерного средства образования математических понятий неоднократно вызывало возражения со стороны ряда видных математиков (К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Д. Гилберт, Г. Вейль и другие). Альтернативные по отношению к канторовской программе построения математики на основе использования одной лишь абстракции потенциальной осуществимости были предложены Л. Э. Я. Брауэром (см. Интуиционизм) и А. А. Марковым (см. Конструктивизм математический). Без использования абстракции актуальной бесконечности обходится также и теория доказательств Д. Гилберта.