Гуманитарные технологии Аналитический портал • ISSN 2310-1792

Бесконечное и конечное

Наиме­нова­ние: Бесконечное и конечное
Опреде­ление: Бесконечное и конечное — это взаимосвязанные и противоположные по смыслу понятия философского и научного дискурсов, выражающие в своей взаимосвязи проявление неопределённого и определённого в предметах, явлениях, процессах и других аспектах действительности.
Текст статьи: Авторы: Д. В. Пивоваров. B. H. Катасонов. Г. И. Рузавин. А. В. Симонов. Подготовка элект­ронной публи­кации и общая редакция: Центр гумани­тарных техно­логий. Инфор­мация на этой стра­нице периоди­чески обнов­ляется. Послед­няя редакция: 21.10.2017.

Бесконечное и конечное — это взаимосвязанные и противоположные по смыслу понятия философского и научного дискурсов (см. Философия и Наука), выражающие в своей взаимосвязи проявление неопределённого и определённого в предметах, явлениях, процессах и других аспектах действительности, как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Категории бесконечного и конечного представляют собой одну из основополагающих конструкций любой известной до сих пор объяснительной картины мира (см. Мир). При этом чаще всего подразумевается, что в отличие от отдельных видов, состояний и форм движения материи, конкретных вещей и процессов, материальный мир существует вечно и бесконечно. Бесконечное существование и движение материи находит своё выражение в неограниченном многообразии, разнообразии свойств, качественной неоднородности и неисчерпаемости её структур и уровней организации. Но все эти особенности бесконечного проявляются через конечное (отдельные вещи, явления, их состояния, формы движения и эволюции).

Понятие «конечное» концептуализирует то, что имеет пространственный и/или временной конец, «границу (всякого) нечто, которая есть имманентное определение самого нечто, а нечто, следовательно, есть конечное» (Гегель Г. В. Ф. Наука логики. — В 3 т. Т. 1. — М., 1970, с. 178). В понятии конечного мир представлен множеством дискретных предметов, отделённых границами друг от друга. «Определённость как изолированная сама по себе, как сущая определённость, есть качество — нечто совершенно простое, непосредственное», — пишет Гегель (Гегель Г. В. Ф. Наука логики. — В 3 т. Т. 1. — М., 1970, с. 172); каждое качество и есть в некотором смысле конечное. Поскольку граница между качествами не только разделяет их, но также связывает их вместе, то всякое конечное обладает альтернативными свойствами:

  1. в первом [разъединительном] отношении конечное можно описывать как нечто относительно автономное, обособленное, самостоятельное;
  2. во втором [соединительном] отношении всякое конечное следует понимать как то, что так или иначе зависит от иного бытия и не обладает полной автономией.

Понятие «бесконечное» концептуализирует то, что не имеет пространственных и/или временных границ, непрестанно, беспредельно; «бесконечное в его простом понятии можно рассматривать прежде всего как новую дефиницию абсолютного; как соотношение с собой, лишённое определений, оно положено как бытие и становление» (Гегель Г. В. Ф. Наука логики. — В 3 т. Т. 1. — М., 1970, с. 201). Понятие бесконечного характеризует субстанцию как единое и единство в неисчерпаемом взаимодействии многих нечто. Субстанция — сама себе причина, её бытие и изменение ничем не ограничиваются (разве что она сама себе устанавливает потребные границы). Русское слово «бесконечное» имеет смысл отрицания: [без] конечное есть не конечное (аналогично и латинское слово: infinitum), но это отрицание можно рассматривать двояко: или как частичное отрицание — то, что может превзойти любое конечное, или как полное отрицание — то, что актуально превосходит любое конечное. Бесконечное подразделяют на потенциальную бесконечность (как становление, то есть процесс неограниченных количественных изменений) и актуальную бесконечность (как свершившуюся, реализованную).

Вопрос о категориях бесконечности и конечности возникает на всём протяжении истории культуры в разнообразных формах. Одна из самых непосредственных — проблема бесконечности/конечности мирового пространства, времени и вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума (см. Континуум). Наконец, более изощренной логической техники требует обсуждение вопроса о существовании разных «типов» бесконечного. Вопрос о логической и онтологической природе бесконечности, о её статусе в Боге и в тварном мире получал разные решения и обоснования в философии, истории науки и теологии.

В европейской философии одним из первых к проблематике бесконечного и конечного обратился Анаксимандр в своём учении о существовании «апейрона» (беспредельного). Согласно же Платону, «сросшиеся во единое» предел (конечное) и беспредельность (бесконечное) являются началами, заключёнными в «вечно сущем». Понятие бесконечного подверглось серьёзной критике в учении Зенона из Элей, который против представления о множестве вещей выдвинул ряд апорий, имея целью защитить и лучше обосновать точку зрения своего учителя Парменида, утверждавшего, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Основным аргументом против множественности вещей у Зенона является необходимость (в случае признания этой множественности) одновременного признания вещей бесконечно малыми (так как их можно было бы делить до бесконечности) и бесконечно большими (так как не было бы конца для накопления всё новых и новых частей). В апориях против бесконечного (против множественности вещей), как и в апориях против движения, Зенон обнаружил действительную противоречивость этих понятий и на этом основании отверг их. Анаксагор выдвинул учение о «гомеомериях», неразрушимых элементах («подобночастных»), которых он признавал бесконечное количество (вопреки Эмпедоклу) и считал бесконечно делимыми (вопреки Демокриту). Анаксагор предвосхитил современное математическое учение о бесконечных множествах, в которых часть может быть не только конечной, но и бесконечной: примером такого бесконечного множества является натуральный ряд чисел, частью которого является ряд чётных (или нечётных) чисел, который тоже бесконечен. В математике учение Анаксагора нашло благоприятную почву благодаря открытию пифагорейцами несоизмеримых величин — величин, которые не могут быть представлены рациональными числами: открытие иррациональных чисел, например. Аристотель впервые отчётливо различил два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Как создатель формальной логики (см. Логика), законы которой отказывают противоречию на право быть характеристикой адекватного миру мышления, Аристотель не признавал актуальную бесконечность, поскольку её понятие противоречиво.

Существенный перелом в отношении бесконечного происходит с утверждением в европейской культуре христианства. Не только христианский Бог в себе оказывается актуально бесконечным, но и творение, в особенности человек как «образ Божий», несёт на себе (в различной мере) отпечаток совершенств Творца. В средневековой философии обращает на себя внимание диалектика бесконечного и конечного, развиваемая Николаем Кузанским, который развивает учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. В бесконечности сливаются противоположности: диаметр окружности, являющийся отрезком прямой (как и вписанный в круг треугольник), сливается с самой окружностью, если сделать её бесконечно большой. Спекулятивная теология Николая Кузанского служит также основанием представлений и о бесконечности Вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свёрнутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяжённость мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и Бог, — мир не есть всё, что может быть, — тем не менее его привативная бесконечность (не infinitum, a Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Коперником геоцентрической системы и учение Дж. Бруно о бесконечности миров во Вселенной, подобных земной жизни помогают этому тезису Кузанского стать в высшей степени популярным к XVIII веку. Р. Декарт также поддерживал идею беспредельности мира: хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, — такова протяжённость мира, делимость частей материи, число звёзд и так далее». (Декарт Р. Первоначала философии, ч. I. — Сочинения в 2 т., т. 1. — М., 1989). Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком образа Божьего в человеческом существе. Именно несоответствие конечности человеческого разума и бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений.

Согласно Спинозе, бесконечность — это протяжённость и длительность как атрибуты субстанции, безусловного, абсолютного. В рамках пантеизма Б. Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи своё бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация. Божественная субстанция-природа имеет бесконечные атрибуты, в том числе протяжённость и длительность. Время же, число и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными средствами воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г. Кантора. Дж. Локк полагал, что идея бесконечного возникает у человека из-за способности без конца повторять какое-нибудь количество, а крайние границы пространства недоступны пониманию; только конечное в принципе познаваемо. Критикуя такой взгляд, Г. В. Лейбниц доказывал, что идея бесконечного имеет божественную природу и внутренним образом постигается человеческой душой. Среди других философов XVII века Лейбниц выступает как наиболее убеждённый защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно прежде всего количество субстанций — монад — в универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. В свою очередь каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени (Лейбниц Г. В. Монадология, 67. — Сочинения в 4 т., т. 1. — М., 1982). Это понимание ведёт Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно-малых («подсознательных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и по существу непревзойдёнными все последующие три столетия.

По И. Канту, всякая бесконечность трансцендентальна, относима к безусловному бытию, и её не следует (дабы избежать антиномий) брать как «данность». Несмотря на то что поначалу Кант ещё всецело разделял лейбницевскую точку зрения в отношении актуальной бесконечности, позже его взгляды резко меняются. В «Критике чистого разума» в силу кантовской философии математики оказываются невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина. Мир же в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefmitum — неопределённый (Кант И. Критика чистого разума. — Сочинения в 6 т., т. 3. — М., 1964). В целом, рассматривая связь бесконечного с конечным, Кант понимал отношение этих категорий как антиномию чистого разума, как свидетельство его ограниченности и бессилия.

Мыслители-диалектики выявляют не только различие, но и сходство категорий конечного и бесконечного и предпочитают определять их рефлексивно, друг через друга — как «тождество различных». Глубокий анализ взаимосвязи конечного и бесконечного проведён Г. В. Ф. Гегелем. «В природе самого конечного — выходить за себя, отрицать своё отрицание и становиться бесконечным. Бесконечное, стало быть, не стоит над конечным как нечто само по себе готовое, так чтобы конечное имело и сохраняло место вне его или под ним […]. Не благодаря снятию конечности вообще возникает бесконечность вообще, а конечное состоит только в том, чтобы в силу своей природы становиться бесконечным» (Гегель Г. В. Ф. Наука логики. — В 3 т. Т. 1. — М., 1970, с. 202). Гегель различил понятие истинной (качественной) бесконечности от понятия «дурной» (в смысле монотонно-безграничного увеличения количества) бесконечности. Истинную бесконечность он предложил мыслить как направленную процессуальность конечного, а именно как процесс выхода конечного за рамки присущей ему меры — из своего прежнего бытия через небытие в новое бытие. Поскольку истинная бесконечность есть постоянная тенденция выхода конечного за свои периодически изменяющиеся границы, то она внутренним и необходимым способом обусловливается природой конечного; внутри конечного пребывает истинная бесконечность. Вместе с тем, существует также внешняя связь всякого конечного с бесконечным многообразием других конечных вещей и процессов, и в этом аспекте экстенсивная бесконечность образуется внешним сложением неопределённого количества конечных объектов.

Наука, отвлекаясь от конкретной специфики вещей и процессов, то есть от того, что присуще конечному, приходит к идее бесконечного в XIX веке. Со второй половины XIX века философские и научные дискуссии вокруг проблем бесконечного соотносятся с теорией множеств и проблемой оснований математики. В этом процессе большую роль сыграли труды Б. Больцано, К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и в особенности Г. Кантора. В их работах было систематизировано употребление понятия бесконечности в европейской традиции, выделены его основные аспекты и была предложена (Г. Кантором) беспрецедентная конструкция «шкалы бесконечностей», ведущая от самых простых типов бесконечности до бесконечности в Боге. Несмотря на то что конструкции Кантора, ставшие основанием всей современной математики, привели к перманентному кризису этого основания, продолжавшемуся весь XX век, теория множеств представляется зрелым плодом взаимодействия центральных философских тем европейской культурной традиции.

В научный дискурс понятие бесконечного впервые было введено в математике, изучающей его количественный аспект. Простейшей формой математической бесконечности является практическая бесконечность, основанная на различии между фактически осуществимыми и неосуществимыми построениями (вычислениями и определениями) математических объектов. Бесконечность здесь отождествляется с очень большими и очень малыми величинами, и в такой форме практическая бесконечность используется в естествознании и в различных приложениях математики. Более сильной абстракцией бесконечности служит потенциальная бесконечность, то есть становящаяся, возникающая в результате построения последовательности все новых и новых объектов, каким является, например, натуральный ряд целых положительных чисел. Наконец, в конце XIX века для теоретико-множественного обоснования математики была введена ещё более сильная абстракция актуальной бесконечности, все элементы которой считаются уже заданными, построенными, а не возникающими в процессе математического построения. Применение актуальной бесконечности привело к немалым трудностям и породило кризис оснований математики. Наиболее радикальные её критики — интуиционисты и конструктивисты — призывают к полному отказу от неё и к возвращению к потенциальной бесконечности. Но эти понятия в идеализированной форме отражают разные аспекты действительности: потенциальная бесконечность — становление и развитие, актуальная — их результат, итог, завершение определённого процесса. Качественные особенности бесконечного и конечного изучаются естествознанием, в частности астрономией и космологией. Методы и теории этих наук открывают всё новые и новые свойства и закономерности бесконечности многообразного реального мира и тем самым расширяют наши знания о категориях бесконечного и конечного. Физика, астрономия и космология играют решающую роль в исследовании пространственно-временных свойств охваченной наблюдениями части Вселенной, а развитие космологии в последние десятилетия проливает новый свет на решение проблемы бесконечного и конечного во Вселенной. Используя для этого решения модели, основывающиеся на упрощающих предположениях (например, однородности и изотропности пространства) и опирающиеся на охваченную наблюдениями область Метагалактики, космология не даёт однозначного ответа на вопрос о бесконечном и конечном Вселенной. Этот вопрос, как и вопрос о бесконечном или конечном материального мира, выходит за рамки эмпирического опыта конкретных наук и приобретает общемировоззренческий и философский характер комплексной проблемы, в решение которой каждая наука вносит свой вклад.

В целом, в науке и философии постоянно конкурируют между собой альтернативные решения проблемы «Бесконечное вширь» («Мир бесконечен в пространстве и во времени» и «Мир замкнут в конечную сферу, возник конечное число лет тому назад и рано или поздно погибнет»), а также противостоят взаимоисключающие ответы на вопрос «Бесконечен ли мир вглубь?» («Всякий объект бесконечно делим, так что нет ничего элементарного», и, напротив, «Существуют истинные атомы, то есть в фундаменте мира находятся принципиально неделимые стихии»). Так, Г. И. Наан высказал по этому поводу мысль, что мы знаем, что Вселенная бесконечна, но не знаем, в каком именно смысле она бесконечна.

Библио­графия:
  1. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. — Одесса, 1911.
  2. Бруно Дж. О бесконечности, вселенной и мирах. — В книге: Бруно Дж. Диалоги. — М., 1949.
  3. Гайденко П. П. Эволюция понятия науки, т. 1–2. — М., 1980–1987.
  4. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. — В 3 т. Т. 1. — М., 1970
  5. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923.
  6. Декарт Р. Первоначала философии. — Декарт Р. Сочинения в 2 т., т. 1. — М., 1989.
  7. Кант И. Критика чистого разума. — Кант И. Сочинения в 6 т., т. 3. — М., 1964.
  8. Кантор Г. Труды по теории множеств. — М., 1985.
  9. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. — М., 1969.
  10. Лейбниц Г. В. Сочинения в 4 т., т. 1. — М., 1982.
  11. Локк Дж. Опыт о человеческом разумении. — Локк Дж. Сочинения в 3 т., т. 1. — М., 1985.
  12. Николай Кузанский. Об учёном незнании. — Николай Кузанский. Сочинения в 2 т., т. 1. — М., 1979.
  13. Фрагменты ранних греческих философов, ч. 1. — М., 1989.
Источник: Бесконечное и конечное. Гуманитарная энциклопедия [Электронный ресурс] // Центр гуманитарных технологий, 2010–2017 (последняя редакция: 21.10.2017). URL: http://gtmarket.ru/concepts/7154
Авторы статьи: © Д. В. Пивоваров. B. H. Катасонов. Г. И. Рузавин. А. В. Симонов. Подготовка электронной публикации и общая редакция: Центр гуманитарных технологий.